线性代数重点难点30讲 求R2的一个基及其维数 a11a12 解由于对R22中的任一元素a= 根据矩阵线性运算性质可表示 001r00 0 01+al1 00 01 01 00 e 则上式说明,任一元素a∈R22都可以由R22中的元素e1,e,e2,en线性表示,只要能证 明eu1,e12,en,en线性无关,则en,e1,en,e2就是R2的一个基(一般称为自然基) 设有一组数A1,A2,A3,A4,使 λ1eu+λ 0 即 a3 a4 从而得出A1=A2=A3=A4=0,故e1,en,e,ea是线性无关的.由此可知en,ea,ea e2是R22的一个基,且R2是4维线性空间 注意线性空间的基不是唯一的,上述R22中,任何4个线性无关的二阶方阵都可以 为R2x2的一个基.一般已知线性空间的一个基,任找一个与线性空间维数相等且可逆的 阵,如本题,任找一个4阶可逆方阵 pul p1 p13 p p3 p3 p3 p34 p41 P42 pa p 使 或(a1,a2,a,a2)=(en,e,e21,e2)P,则an,a12,an,a2是线性空间R2的另 个基,显然P就是由基e,e1,e2n,e2到基a1,a1,a21,2的过渡矩阵 例4设V的一个基是n维线性空间V的一个子空间,1,a2,…,ax是V的一个基 试证V中存在着元素an1,…,an,使a1,ax2,…,,a,1,…,an成为V的一个基 证因a1,a2,…,a,是V的一个基,若r=n,则a1,a2,…,an就是V的一个基,老 r<n,则必有an1∈V,使a1,a2,…,an,a,线性无关,否则dmV=r( dim Vna表示V 的维数),这与dmVn=n相矛盾;若r+1=n,则命题已得证,若r+1<n,则继续上