中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 三、(20分) 不光滑水平地面上有一质量为m的刚性柱体，两者之间的摩擦因数记为μ，柱体 正视图如图所示，正视图下部为一高度为的矩形，上部为一半径为R的半圆形.柱 体上表面静置一质量同为m的均匀柔软的链条，链条两端距地面的高度均为h/2, 链条和柱体表面始终光滑接触.初始时，链条受到微小扰动而沿柱体右侧面下滑.试 求在链条开始下滑直至其右端接触地面之前的过程中，当题中所给参数满足什么关系 时， 1.柱体能在地面上滑动： 2.柱体能向一侧倾倒 3.在前两条件满足的情形下，柱体滑动先于倾倒发生. 参考解答： 1.以柱体中轴线与开始时刻链条端点所在水平线的相 交点为原点，建立坐标系Oxy,如图所示.链条可视为质点组. 设在链条运动的某时刻，其右侧端点相对其开始时位置已下 -N 降了一定的距离y,而链条左侧端点则相应上升了同样的距 离首先分析此时链条的受力情况.除受自身重力外，链条还 受到柱体半圆形表面的支持力.在柱体上部半圆形表面上的 任意点，该支持力必沿半径向外方向，用N,表示。链条受到 的支持力是方向随其作用点而变化的力系，简称支持力系 链条质心的运动由它所受到的重力和支持力系决定.为 h/2 建立链条质心运动方程，先分析链条质心位置(x,y)随其右 侧端点y坐标的变化规律.由如图所示的几何关系，可求得 链条质心的坐标为 -y+xco (1) 2 。= +yoo (2) 其中(x0,yo)是链条质心在开始时刻的位置，L(=h+πR)表 示链条的总长度.利用速度的定义，可从(1)和(2)式求得 质心的速度为 0,2R (3) ,=+-少2-2 -V L△tL△t (4) 其中)代表链条右端点速度（以向下为正向），其大小可由链条运动的机械能守恒关系求得 在链条下滑过程中只有重力做功，所以机械能守恒 (5) 由此可知 28y (6) 式中已同时考虑了)的方向. 由加速度的定义，从(6)式可求出链条右侧端点的加速度 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理三、(20 分) 不光滑水平地面上有一质量为 m 的刚性柱体，两者之间的摩擦因数记为μ．柱体 正视图如图所示，正视图下部为一高度为 h 的矩形，上部为一半径为 R 的半圆形．柱 体上表面静置一质量同为 m 的均匀柔软的链条，链条两端距地面的高度均为 h／2， 链条和柱体表面始终光滑接触．初始时，链条受到微小扰动而沿柱体右侧面下滑．试 求在链条开始下滑直至其右端接触地面之前的过程中，当题中所给参数满足什么关系 时， 1．柱体能在地面上滑动； 2．柱体能向一侧倾倒； 3．在前两条件满足的情形下，柱体滑动先于倾倒发生． 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理