中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 29届全国中学生物理竞赛决赛试题 一、(15分) 如图，竖直的光滑墙面上有A和B两个钉子，二者处于同一水平高度，间距为1，有一原长为1、劲度 系数为k的轻橡皮筋，一端由A钉固定，另一端系有一质量为广札的小 Ag 球，其中g为重力加速度.钉子和小球都可视为质点，小球和任何物体碰 撞都是完全非弹性碰撞而且不发生粘连.现将小球水平向右拉伸到与A钉 距离为21的C点，B钉恰好处于橡皮筋下面并始终与之光滑接触.初始时 刻小球获得大小为。=圆 方向竖直向下的速度，试确定此后小球沿 竖直方向的速度为零的时刻 参考解答： 以B钉为坐标原点建坐标系Oy,如图1所示.小 球在被释放后受到本身重力和橡皮筋的弹力两个 力的作用.设小球相对于原点O(即B钉)的位置 由位矢r表示，则弹力可表示为 F=-kr (1) 小球的运动方程在Oy坐标系下分解为 ma,=-kx (2) may =-ky-mg (3) 定义y方向新坐标y=y+mg/k,(3)式可改写为 ma,=-k' (4) 图1 由(2)和(4)式知小球在水平和竖直方向都做简谐振动.其振动方程可表示为 x(1)=A cos(or+) (5) y'()-Acos(t+9,) (6) 利用参考圆可得到小球速度的表达式 v(t)=-A,@sin(at+o) () v,(t)=-A,@sin(at+) (8) 将如下初始条件 x(0)=1 (9) 0=竖号 (10) v.(0)=0 (a1) ”0)=- 2 (12) 代入(5)至(8)式，可解得振幅A,和A及位相P,和g,·再利用w=Vk/m=2√gi,上 述振动方程和速度表达式可用已知量表示为： (13) (14) -2@m2昌 (15) 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
29 届全国中学生物理竞赛决赛试题 一、(15 分) 如图，竖直的光滑墙面上有 A 和 B 两个钉子，二者处于同一水平高度，间距为l ，有一原长为l 、劲度 系数为 k 的轻橡皮筋，一端由 A 钉固定，另一端系有一质量为 m= g kl 4 的小 球，其中 g 为重力加速度．钉子和小球都可视为质点，小球和任何物体碰 撞都是完全非弹性碰撞而且不发生粘连．现将小球水平向右拉伸到与 A 钉 距离为 2l 的 C 点，B 钉恰好处于橡皮筋下面并始终与之光滑接触．初始时 刻小球获得大小为 2 0 gl v 、方向竖直向下的速度，试确定此后小球沿 竖直方向的速度为零的时刻． 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 ,厚2+到 (16) 由(16)式可求出小球速度沿y方向分量第一次为零的时刻，即)，()=0，其中 0= 3n D 8 Vg (17) 此后，如果小球沿y方向的振动没有中断，当小球沿y方向的振动到达最大振幅处时，(16) 式右端便等于零.然而，按(16)式右端等于零所求出的其它时刻并不是满足题意的解：因 为在按(16)式求出的竖直速度等于零的第二个时刻之前，小球将和B钉发生碰撞，碰撞 时刻为 31 t。= 4Vg (18) 此时，按(13)和(14)两式可知 ))-0 (19) (20) 这恰好是B钉的位置.这样，小球将在t=t。时和B钉发生完全非弹性碰撞，碰撞后小 球速度为零：由于碰撞过程时间极短，t。时刻就是小球速度沿y方向分量第二次为零的时刻。 碰撞后小球并不和B钉粘连，所以小球将沿y方向做一维的简谐振动，由(4)式可知此振 动周期为 (21) 0 每经过半个振动周期T,都会出现速度为零的情况（此时自然有？，=0）·这样，除(17) 和(18)式确定的前两个特定时刻之外，每当 a4+=m+马5， T +22 ,n=1,2,… (22) 时，小球速度都为零，因而其沿y方向的速度分量也为零， 评分标准：本题15分 (2)式1分，(3)或(4)式1分： (5)(6)(7)(8)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(21)式各1分， (22)式2分 二、(20分) 如图所示，三个质量均为m的小球固定于由刚性轻质杆构成的丁字形架的三个顶点A、B和C处.AD ⊥BC,且AD=BD=CD=,小球可视为质点，整个杆球体系置于水平桌面上，三个小球和桌面接触，轻质杆架 悬空.桌面和三小球之间的静摩擦和滑动摩擦因数均为μ，在AD杆上距A点a/4 和3a/4两处分别施加一垂直于此杆的推力，且两推力大小相等、方向相反. B 1.试论证在上述推力作用下，杆球体系处于由静止转变为运动的临界状态时， 推力 三球所受桌面的摩擦力都达到最大静摩擦力： 2.如果在AD杆上有一转轴，随推力由零逐渐增加，整个装置将从静止开始绕 A 该转轴转动.问转轴在AD杆上什么位置时，推动该体系所需的推力最小，并求出 该推力的大小， 推力 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
二、(20 分) 如图所示，三个质量均为 m 的小球固定于由刚性轻质杆构成的丁字形架的三个顶点 A、B 和 C 处．AD ⊥BC，且 AD=BD=CD=a，小球可视为质点，整个杆球体系置于水平桌面上，三个小球和桌面接触，轻质杆架 悬空．桌面和三小球之间的静摩擦和滑动摩擦因数均为μ，在 AD 杆上距 A 点 a／4 和 3a／4 两处分别施加一垂直于此杆的推力，且两推力大小相等、方向相反． 1．试论证在上述推力作用下，杆球体系处于由静止转变为运动的临界状态时， 三球所受桌面的摩擦力都达到最大静摩擦力； 2．如果在 AD 杆上有一转轴，随推力由零逐渐增加，整个装置将从静止开始绕 该转轴转动．问转轴在 AD 杆上什么位置时，推动该体系所需的推力最小，并求出 该推力的大小． 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 参考解答： 1.将固连于杆的A、B和C三端的小球分别称为A、B和C球.由于杆的质量可忽略， 则三小球所受桌面支持力的大小都等于其重力.这一结论可通过如下方法证明：以B球为 例，将B球连同一小段杆隔离出来作为研究对象，分析其在竖直方向的受力情况，它受小球 重力和桌面支持力，这两个力的作用线过小球和桌面接触点并垂直于桌面，如果这两个力大 小不相等，则在该研究对象的杆截面处必存在非零的竖直方向力，才能满足在竖直方向力的 平衡方程.然而，如果存在这样的力，则相对于小球球心，该研究对象的力矩不为零，这违 反研究对象的力矩平衡条件，因此，桌面支持力必等于小球重力，根据如上分析，三小球所 受最大静摩擦力的大小都为 fr=umg (1) 体系由静止向运动转变的临界状态可能存在两种不同的情况，第一种情况是两个小球所 受摩擦力的大小已达到∫x，而第三个小球尚未达到∫x·这种临界状态对应着体系将绕第 三个小球转动，第二种情况为三小球所受摩擦力的大小都已达到∫∝，这种临界状态意味 着体系将发生平移或绕三小球以外的某点转动，也可以是平动和转动的合成运动，总之，这 是一种对应着三小球都将开始运动的临界状态 可以论证所谓的第一种临界状态是不合理的.换言之，这种临界状态是不可能发生的. 为证明这种观点，可设B和C球所受摩擦力己达到∫x,而A球摩擦力尚未达到该值，在 此基础上如果再稍增加推力，一种可能是B和C球仍保持静止，但是A球的摩擦力值随之 增加直到fx,但这就转变成第二种临界状态了，另一种情况是A球摩擦力虽未达到∫m: 但也不再增加，而B和C球已开始运动，此时A球必为体系的转动中心，B和C球处于绕 之转动的临界状态，由于在该临界状态系统仍静止，所以在水平桌面内其所受外力的矢量和 为零，用矢量形式表示为 fa+fe+fc=0 上式左边的三个力分别为A、B和C球所受的静摩擦力.B和C球的摩擦力大小为 后=：=寸x,其方向垂直于两小球到A球的连线.将(1)式正交分解，可求得A球所受 的摩擦力大小为 f=v2f>fm (2) 该值已超过最大静摩擦力∫mx,这意味着A球不可能处于静止状态，所以这种临界状态不可 能出现.同理可知，体系分别绕B或C球开始转动的临界状态也不可能出现，因为这样的 状态对应的B或C球的摩擦力为 fuc =12+2fom>fo (3) 可见该值也超过了最大静摩擦力、终上所述，在体系由静到动的临界状态三小球所受摩擦力 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 都达到最大摩擦力fx· B 2.用G表示转轴在AD杆上的位置，用F表示推力的大小，在体系绕转轴刚好开始转 动的临界状态，桌面对A、B和C三球的最大静摩擦力（大小均为4mg)的方向分别和连 线GA,GB和GC垂直，如图所示.并且它们对G点的总力矩刚好和外力矩相平衡.设G点 与D点的距离为xa,则力矩平衡方程为 umg(2x'a +a+a-xa)=Fa (4) 此式可进一步整理为 -小+4-(=0 (5) 这个方程有实根的条件是 (6 上式简化为 F≥2(N5+1)4mg (7) 这意味着只有F满足如上条件时，才能在AD杆上找到一个转轴位置而使体系运动起来.换 言之， F=2(N3+1)mg (8) 是推动该体系转动的最小推力，将上式代入(5)式，可求出 3 (9) 评分标准：本题20分， 第1问8分， (1)式2分，(2)(3)式各3分 第2问12分， (4)式4分，(6)式2分，(7)(8)(9)式各2分.用其它方法正确得到(8)式的，给(6) (7)(8)式的分值. 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 三、(20分) 不光滑水平地面上有一质量为m的刚性柱体，两者之间的摩擦因数记为μ，柱体 正视图如图所示，正视图下部为一高度为的矩形，上部为一半径为R的半圆形.柱 体上表面静置一质量同为m的均匀柔软的链条，链条两端距地面的高度均为h/2, 链条和柱体表面始终光滑接触.初始时，链条受到微小扰动而沿柱体右侧面下滑.试 求在链条开始下滑直至其右端接触地面之前的过程中，当题中所给参数满足什么关系 时， 1.柱体能在地面上滑动： 2.柱体能向一侧倾倒 3.在前两条件满足的情形下，柱体滑动先于倾倒发生. 参考解答： 1.以柱体中轴线与开始时刻链条端点所在水平线的相 交点为原点，建立坐标系Oxy,如图所示.链条可视为质点组. 设在链条运动的某时刻，其右侧端点相对其开始时位置已下 -N 降了一定的距离y,而链条左侧端点则相应上升了同样的距 离首先分析此时链条的受力情况.除受自身重力外，链条还 受到柱体半圆形表面的支持力.在柱体上部半圆形表面上的 任意点，该支持力必沿半径向外方向，用N,表示。链条受到 的支持力是方向随其作用点而变化的力系，简称支持力系 链条质心的运动由它所受到的重力和支持力系决定.为 h/2 建立链条质心运动方程，先分析链条质心位置(x,y)随其右 侧端点y坐标的变化规律.由如图所示的几何关系，可求得 链条质心的坐标为 -y+xco (1) 2 。= +yoo (2) 其中(x0,yo)是链条质心在开始时刻的位置，L(=h+πR)表 示链条的总长度.利用速度的定义，可从(1)和(2)式求得 质心的速度为 0,2R (3) ,=+-少2-2 -V L△tL△t (4) 其中)代表链条右端点速度（以向下为正向），其大小可由链条运动的机械能守恒关系求得 在链条下滑过程中只有重力做功，所以机械能守恒 (5) 由此可知 28y (6) 式中已同时考虑了)的方向. 由加速度的定义，从(6)式可求出链条右侧端点的加速度 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
三、(20 分) 不光滑水平地面上有一质量为 m 的刚性柱体，两者之间的摩擦因数记为μ．柱体 正视图如图所示，正视图下部为一高度为 h 的矩形，上部为一半径为 R 的半圆形．柱 体上表面静置一质量同为 m 的均匀柔软的链条，链条两端距地面的高度均为 h／2， 链条和柱体表面始终光滑接触．初始时，链条受到微小扰动而沿柱体右侧面下滑．试 求在链条开始下滑直至其右端接触地面之前的过程中，当题中所给参数满足什么关系 时， 1．柱体能在地面上滑动； 2．柱体能向一侧倾倒； 3．在前两条件满足的情形下，柱体滑动先于倾倒发生． 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 a=28y (7) 【(7)式也可从链条满足的运动方程p2(-g)=(亿p)a求出，其中p=m/L,】 类似地，由加速度的定义，从(3)和(4)式出发，并利用(6)和(7)式， 可求得链 条质心运动的加速度 4Rg a亚 (8) 是 dey= (9) 根据牛顿第二定律写出链条质心运动方程，可得到如下关系 ∑Na=mas (10) mg+∑Ny=mag (11) 式中，∑N和∑N,分别为链条所受柱体的支持力系沿x和y方向的矢量和. 根据牛顿第三定律，柱体受到链条的压力力系沿x和y方向的矢量和分别为 F=-∑Nx (12) 和 F=-2N, (13) 柱体受到自身重力、地面支持力N。、地面摩擦力∫和链条的压力力系的作用，如果柱体尚 未滑动和倾倒，则由力的平衡条件知 f+F=0 (14) N。+F,+mg=0 (15) 柱体发生滑动的临界条件为 =No (16) 将(8)至(15)式代入上式，可求得柱体在地面上刚好发生滑动时坐标y所满足的方程为 4y+2y-B=0 (17) 其解应在(0，h/2]区间内，即 2 （R+π+1-1 h 0<y0=1 (18) 由此可知 h us- π(2h+πR) (19) 这是在链条下滑过程中，在链条右端接触地面之前，柱体能在地面上滑动的条件。 2.另一方面，由(8)、(10)和(12)式可知，链条在下滑过程中作用于柱体的水平方 向的压力F,方向向左，所以柱体可能向左倾倒。倾倒的临界条件为地面支持力的作用点移至 柱体左下角的A点，同时其它力相对于该点的力矩之和刚好为零.链条对柱体的压力力系对 A点的力矩的值（沿顺时针方向为正）可写为 rw=∑I(②+Rx-Nw)-(但，+R-x〗 (20) 上式中Q=R和2，=-h分别代表由A指向半圆圆心B的位矢的x和y分量，R.和R分别 代表由B指向半圆上点i的半径矢量R的x和y分量.由于柱体在其半圆形表面上点i受到 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 的压力-N沿半径方向，所以有 R.N.) (21) Ry (-N) 因此(20)式可化简为 Tw =RF,+hF (22) 在柱体刚好能倾倒的临界状态下，相对于柱体A点的力矩平衡条件为 Tw +mgR=0 (23) 由(8)至(11)式可算得力矩xw,再利用(9)、(11)、(13)和(15)式，上式成为 18y2 mgR-4mgmgR0 2 (24) 此即 4y2+2y-L2=0 (25) 这是柱体刚好能倾倒时坐标y所满足的方程，其解应在(0，h/2]区间内，即 R 2 4π+1+1-1 0<ya=h- \h 4 2 (26) 由此可知 Rs1-h (27) π 这是在链条下滑过程中，在链条右端接触地面之前，柱体能向一侧倾倒的条件】 3.为使柱体滑动先于倾倒发生，应有 y准<y知 (28) 将(18)和(25)式中y,和y的表达式代入上式得 -h7P R)2 +42-Vh2+4EB (29) 两边同乘以V(R1μ)2+42+Vh2+4亚2得 ++原小侣- 显然 图+c+得 此结果可进一步化简为 4< (30) 这就是在链条开始下滑直至其右端接触地面之前的过程中，柱体若既能在地面上滑动，也能 向一侧倾倒，使柱体滑动先于倾倒的条件 评分标准：本题20分， 第1问13分， (1)(2)(3)(4)(8)(9)(10)(11)(14)(15)(16)(18)(19)式各1分. 第2问4分， (22)(23)(26)(27)式各1分. 第3问3分， (28)式1分，(30)式2分. 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 四、(20分) 如图所示，在一光滑水平圆桌面上有两个质量、电荷都均匀分布的介质球，两球半径均为，A球质 量为m,所带电荷量为Q,B球质量为4m,所带电荷量为-4Q.在初始时刻，两球球心距为4，各有一定的 初速度，以使得两球在以后的运动过程中不发生碰撞，且都不会从圆桌面掉落.现要求在此前提下尽量减 小桌面面积，试求 1.两球初速度的方向和大小： 2.圆桌面的最小半径. 假设两球在运动过程中，其所带电荷量始终保持均匀分 布：桌面也不发生极化效应.已知两个均匀带电球之间的静 电相互作用力，等于电荷集中在球心的两个点电荷之间的相 互作用力：静电力常量为k。· 参考解答： 解法一： 按照“两球不发生碰撞且都不会从桌面掉落的前提下尽量减小圆桌面面积”这个要求，可 以推断出两球的质心应该保持不动.在初始时刻，质心在两球球心的连线上，与A球球心和 B球球心的距离分别是 4m-4a=16a/5 (1) m+4m _m-4a=4a/5 (2) m+4m 在此后的任何时刻，如果两个球心之间的距离为1，那么A球球心到质心的距离是41/5， B球球心到质心的距离是I/5 按题意，两球之间的相互作用力是库仑吸引力，即 弩 在质心系中，若用Ac和c分别表示质心到A球心和B球心方向的单位矢量，A球和B球 的运动方程分别为 -402 ma、=k。 (3) 4 4mas=k.(5n)2 c (4) (3)和(4)式表明A球和B球都在质心系中做椭圆运动 为了使两球的运动轨道覆盖尽量小的面积，球心距的初始值4a应该是它的最大值；最 小距离只能是两球的半径之和2a,所以，初始时，A球和B球分别处在其椭圆轨道的远日 点，距质心的距离分别为16a/5和4a/5;A球和B球处在其椭圆轨道的近日点时，距质 心的距离分别为8a/5和2a/5. A球椭圆轨道的半长轴和半短轴分别是 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
四、(20 分) 如图所示，在一光滑水平圆桌面上有两个质量、电荷都均匀分布的介质球，两球半径均为 a，A 球质 量为 m，所带电荷量为 Q，B 球质量为 4m，所带电荷量为-4Q．在初始时刻，两球球心距为 4a，各有一定的 初速度，以使得两球在以后的运动过程中不发生碰撞，且都不会从圆桌面掉落．现要求在此前提下尽量减 小桌面面积，试求 1．两球初速度的方向和大小； 2．圆桌面的最小半径． 假设两球在运动过程中，其所带电荷量始终保持均匀分 布：桌面也不发生极化效应．已知两个均匀带电球之间的静 电相互作用力，等于电荷集中在球心的两个点电荷之间的相 互作用力；静电力常量为 ke． 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 号 5 (5) 5 16882 =5axa= a 5 5 (6) B球椭圆轨道的半长轴和半短轴分别是 12。,4 3 (7 2422 '=V5a×a= (8) 所以A球的椭圆轨道大于B球的椭圆轨道， 由于两球的质心不动，在任何时刻A球速度与B球速度应满足 UA=4UB 但方向相反.在初始时刻两球相距最远，所以它们的初始速度的方向一定要和两球球心的连 线垂直.在质心系中，设B球的初始速度为)0，那么A球的初始速度就是 UAo =4UBO 当两球相距2a时，B球和A球的速度分别为⑦a,和vA1=4v1，它们的方向也和那时两球球 心的连线相垂直.按角动量守恒，在这两个时刻两球相对于质心的总角动量必相等，所以 mn+4m号-m4学+m号 2a 5 5 (9) 由此解得 Ua =2080. (10) 按能量守恒，在这两个时刻两球总能量（动能加势能）必相等，所以 m(4o(mm(don(m55 1 2a (11) 将(10)式代入(11)式中即可解出 k.22 8o30ma k22 30ma (12) 由前分析知，最小的圆桌面范围由A球的运动划定，在质心系中，它的运动轨道是以 质心为力心、长半轴为12a/5、短半轴为8√2a/5的椭圆，所以两球都不会从桌面掉落的 圆桌面的最小半径Ra为 12 Rnin= a. 5 (13) 评分标准：本题20分。 第1问18分， (1)(2)式各1分，(3)(4)式各2分，(5)(6)(7)(8)式各1分， (9)(11)式各3分，(12)式2分. 第2问2分， (13)式2分. 解法二： 按题意，两球之间的相互作用力是库仑吸引力，即 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 用F表示B球心到A球心方向的单位矢量，A球和B球的运动方程是 ma 4fs (1) 4ma,=k.,三fa3 (2) 所以 5(a,-a)=kg于 9 (3) 这表明，两球的相对运动类似于天体在万有引力作用下的运动，它们不发生碰撞、且不无限 远离的一般情形是相对做椭圆运动.若以A球心为原点建立平动参考系，则B球作椭圆运 动 按照“两球不发生碰撞且都不会从桌面掉落的前提下尽量减小圆桌面面积”这个要求，可 以推断出两球的质心应该保持不动.为了使两球的运动轨道覆盖尽量小的面积，两球球心距 离的初始值4a应该是它的最大值，最小距离只能是两球的半径之和2a.在初始时刻两球相 距最远，所以它们的初始速度的方向一定要和两球球心的连线相垂直， 设初始时刻A和B球相对桌面的速度分别为)和"，则B球相对于A球的初速度为 口=)助一)A0,初始时刻体系的能量为 E=14m2_4k.22 254a (4) 由天体运动知识可知B球距离A球的最近和最远距离之和满足 Inin rin E (⑤) 又因为初始时刻两球球心距离的初始值4a为两球最远距离情况，即，=4a.利用(5)式得 25 .e哈a 14m2 (6) 当=2a时两球刚好相切，对应着两球发生碰撞的临界情况.可求得B球相对于A球的初 速度为 5k.2 6ma (7) 由于两球的质心必须相对于桌面静止，所以有 4t0-VA0=0 (8) 再利用关系D=v-~,可求得两球相对于桌面的速度大小为 VA0=40=41 k.o 30ma (9) 两速度都垂直于初始时刻的球心距，且两者方向相反， 初始时刻，质心在两球球心的连线上，与A球心和B球心的距离分别是 4m4a=15a (10) m+4m m 4a=a 4 (11)） m+4m5 如果两个球心之间的距离为1，那么A球球心到质心的距离是41/5，B球球心到质心的距 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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