中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 第31届全国中学生物理竞赛决赛 理论考试试题与评分标准 一、(12分】一转速测量和控湘装置的原理如图所示.在 0点有电量为Q的正电荷，内壁光滑的轻质绝缘细管可 c 浇通过口点的竖直轴在水平面内转羽，在管内距口为 L处有一光电触发拉制开关A,车O装固定有一自白长 oWO 度为L14的轻质绝缘弹簧，弹簧另一操与一质量为附、 带有正电荷的小球相连接 开始比，系统处十静态平衡.细常在外力矩作用~，作定轴妆功，小球可在细管内运别。当 细管转速心迈渐变大时，小球到达细管的A处刚好相对丁细管经向平衡，并触发拉制于关，外力 矩爵时变为零，从而限制转速过大：同时0点的电荐变为等量负电荷-具通过测量此后小球相 对干细管径向平衡点的位置R.可测定转这.老测得O日的距离为1/2，求 (1)弹簧系数k。及小球狂B处时细管的转速： (2)试可小球在平衡点3附近是否存在相对于细管的径向微振动？如果存在，求出该微振动的 周期 参考解答， 1)设细管的角速度04，小球在A点相对纽管平衡时，有 k-k鳄-i@ ① 球在B点，细管的角速度心，满足 且外力矩为0，角动量守恒有 20,=号 则有 心-4 代入②式得 +误= 2/4 由①和④式得 4870 k。=k23D ⑤ 代入②式得细管的角速度a,为 |13gg 0,=4231D (2)令什无+x,小球平街点附近所受合力为 由角动量守恒 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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平衡点附近展打得轻向合力为 0心传鸣-器 图 所以，小球在平衡点B附近存在相对于管的径向微振效。 金 小球用对于细管的径向微板物周期为 瑞 23m配 ① 评分标准：本题12分.①2分，②1分，③2分.⑤©⑦回01各1分 二、(14分)名弹头玫击系统是破解导英時物体系的有效手段，如 图所示，假设沿桌海岸有两个军事目标W和N,两者相距L, 一镀潜艇沿平行于该海岸线的航线游弋，并监视这两个标， 其抗线离海片线的距离为d。潜艇接到攻击命令后浮出海面发 射一颗可分黎成多弹头的母弹，发时速度为。（其大小运大于 潜提在海里弋速度的大小)，假设母弹到达最高点时分裂成三个分弹头，每个分算头的质量作等， 分离时相对原母护的速度大小均为口，且分布在同水平面内，分弹头1、2为实弹，分弹头3为 迷惑对方雷达探测的假弹头。如果两个实弹能够分别击中军事目标W和N,试求潜艇发射母弹 时的位置与发射方向，并给出相应的实现条件 参考解答（一） 以两个自标W和N连线的中点C为原点是立如 图】的坐标系，假设指根发射母弹时的位置为 (x,0,d),母弹发射方向的仰角为6（与：平而的 夹角)，与航线的夹角为a(在x0:平面内，发射力 向的投影线与x轴的夹角】.按题意岳弹到达最高点 的时间为 9 sin ① 沿发射方向在海面上质心运动的距离（即射程）为 visin20 e 根据愿意与动量宁恒定律，车母弹参考系中，三个分弹头的飞行方向 1200 120 在水平面内一定县对称分布，且假弹头3飞行方向与海岸线垂直（如图2 所示)，则分弹头1、2在与海岸线垂直的方向上飞行的距离为 图2 =号+%m8血a因+cos9ha1 @ 则分弹头1在与海岸线平行的方向二飞行的距离为 ① 2 2 则分弹头2在与海岸线平行的方向上飞行的距离为 @ 2 +ncos6.oa1=4*号asa) 联立①④⑤式可得到 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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平衡点附近展打得轻向合力为 0心传鸣-器 图 所以，小球在平衡点B附近存在相对于管的径向微振效。 金 小球用对于细管的径向微板物周期为 瑞 23m配 ① 评分标准：本题12分.①2分，②1分，③2分.⑤©⑦回01各1分 二、(14分)名弹头玫击系统是破解导英時物体系的有效手段，如 图所示，假设沿桌海岸有两个军事目标W和N,两者相距L, 一镀潜艇沿平行于该海岸线的航线游弋，并监视这两个标， 其抗线离海片线的距离为d。潜艇接到攻击命令后浮出海面发 射一颗可分黎成多弹头的母弹，发时速度为。（其大小运大于 潜提在海里弋速度的大小)，假设母弹到达最高点时分裂成三个分弹头，每个分算头的质量作等， 分离时相对原母护的速度大小均为口，且分布在同水平面内，分弹头1、2为实弹，分弹头3为 迷惑对方雷达探测的假弹头。如果两个实弹能够分别击中军事目标W和N,试求潜艇发射母弹 时的位置与发射方向，并给出相应的实现条件 参考解答（一） 以两个自标W和N连线的中点C为原点是立如 图】的坐标系，假设指根发射母弹时的位置为 (x,0,d),母弹发射方向的仰角为6（与：平而的 夹角)，与航线的夹角为a(在x0:平面内，发射力 向的投影线与x轴的夹角】.按题意岳弹到达最高点 的时间为 9 sin ① 沿发射方向在海面上质心运动的距离（即射程）为 visin20 e 根据愿意与动量宁恒定律，车母弹参考系中，三个分弹头的飞行方向 1200 120 在水平面内一定县对称分布，且假弹头3飞行方向与海岸线垂直（如图2 所示)，则分弹头1、2在与海岸线垂直的方向上飞行的距离为 图2 =号+%m8血a因+cos9ha1 @ 则分弹头1在与海岸线平行的方向二飞行的距离为 ① 2 2 则分弹头2在与海岸线平行的方向上飞行的距离为 @ 2 +ncos6.oa1=4*号asa) 联立①④⑤式可得到 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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平衡点附近展打得轻向合力为 0心传鸣-器 图 所以，小球在平衡点B附近存在相对于管的径向微振效。 金 小球用对于细管的径向微板物周期为 瑞 23m配 ① 评分标准：本题12分.①2分，②1分，③2分.⑤©⑦回01各1分 二、(14分)名弹头玫击系统是破解导英時物体系的有效手段，如 图所示，假设沿桌海岸有两个军事目标W和N,两者相距L, 一镀潜艇沿平行于该海岸线的航线游弋，并监视这两个标， 其抗线离海片线的距离为d。潜艇接到攻击命令后浮出海面发 射一颗可分黎成多弹头的母弹，发时速度为。（其大小运大于 潜提在海里弋速度的大小)，假设母弹到达最高点时分裂成三个分弹头，每个分算头的质量作等， 分离时相对原母护的速度大小均为口，且分布在同水平面内，分弹头1、2为实弹，分弹头3为 迷惑对方雷达探测的假弹头。如果两个实弹能够分别击中军事目标W和N,试求潜艇发射母弹 时的位置与发射方向，并给出相应的实现条件 参考解答（一） 以两个自标W和N连线的中点C为原点是立如 图】的坐标系，假设指根发射母弹时的位置为 (x,0,d),母弹发射方向的仰角为6（与：平而的 夹角)，与航线的夹角为a(在x0:平面内，发射力 向的投影线与x轴的夹角】.按题意岳弹到达最高点 的时间为 9 sin ① 沿发射方向在海面上质心运动的距离（即射程）为 visin20 e 根据愿意与动量宁恒定律，车母弹参考系中，三个分弹头的飞行方向 1200 120 在水平面内一定县对称分布，且假弹头3飞行方向与海岸线垂直（如图2 所示)，则分弹头1、2在与海岸线垂直的方向上飞行的距离为 图2 =号+%m8血a因+cos9ha1 @ 则分弹头1在与海岸线平行的方向二飞行的距离为 ① 2 2 则分弹头2在与海岸线平行的方向上飞行的距离为 @ 2 +ncos6.oa1=4*号asa) 联立①④⑤式可得到 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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提示：上述所有过程中，气体均可视头耳想气体，甘算结吴可含数值的者数式或分式：根报热力 学第二定律，当一种理想气体南成的热力学系统从初态(”，工，)经过一个绝热可迎过程（准静态 篼热过程)到达终态(P,工)时，其状态参数清足方程： =G+n(色 (1) 其中，上为该气体的摩尔数，C为它的定容摩尔热容量，R为首适气体常量.而当热力学系统由 二种理想气体组成，则方程①餍修政为 (△S)r+(△S2)g-0 0 y1,#限于分于 V,双丽子台子 oT。 %,12 B C 参考解答： (1冫对于非准醉态的自由能胀过程，外界没有对气仁做功，系统也没有从外界吸热山热小学第 一定律得，容器内气体影胀前后的内能改变为零。AU=0(AT=0),从面系贷的温度没有改变 只是系统的体积增加丁一倍，使得压强读少为原来的12 x=五，5=8 @ 然后，气你从亿.0叫，号，)经过准箭态绝热压给过君，达到新的1.7乃，PT)平衡态.该绝热过 程满足方程： 0y-Pm01=8 P、1 *0.85乃 ② Px170=x085月x170,=yT T-5×0.3x085i-0.8si7 ③ VR 2)当容帮内的两种气体交换混合共同达到(2.7。，P',T门平衡态时，能量守恒导出 F3TyZ-3r102308:i+5Z:064 0 3,+5y2 13 13 同时，根据理想气体方程车， 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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B=%kT”,P5=n7“;p”=nkT 其中，”分别为单原子分了和双原了分子气体的压垂，，几，分别为相应的两种分于的分子 数密度，n为混合气体的分子数密度利用：=用+片关系和（⑤）式， P'-k7=(4+%)r=+P时=化+2T 2.7 ⑧ 代入数据得到结果。 R3x68i5-9x05 p270。 13 35.1 ⑦ (3)最后，混合气体从(27，P”,7经过准静态绝热影张达到(3。，P”,T)平衡态该绝热过程 满足如下的方程 p'(2.70r=P(3a ⑧ 其中 Cl+VCe2 9 ViCI+C72 夹中由题意得七，。6=一G,.从套塔提合气体的热容比 C+vC2-5+14-l9 Y= C,+,C,3+1013 再代入③式得 P=090P”=0.905x9×0.85i+15 19 35.1 @ 同理有 T"2.70r。1=T"3。- 0 T=0.90.-7"=0.90×3x0.855+5 13.0 评分标准：本题14分，第)间4分，①式2分，@3式各1分：第2)问4分.④⑦式各2分 第(3)问6分，@02式各2分 *O式即：求证两种混合气休满足的绝热过程方程及上热容比7= vCm+vC2 vCr+V.Cr: ⑨式让法： 根据提示：（色S)+(△S),=0,得到 eG,+Ch2=-wR+Rh(=R+w利n吃 所以头 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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以-T产，8-R+当R YiCh +C (a) 其次 PV =(Pa+pay=(v+v)RT PiV=(Pn+pn)v,=(+v:)RT 品学台学的 鲁孕始学 所以： Ervsa =pvsa,pv=pV (b) 方=g+1-R+R 11-4S+9 VCh +VCh C1z93 其中C。=C,+R,C。=C,+R,若片=0，就导出庄一种理想气体为成的热力学系统满足 的绝热过程方程及热容比关系： -S9+R pV-pV-coast.7-CC 四、(20分》光纤光橘是一种介质所射率周期性变化的光学器仁，设一光纤光橱的汗芯基体材料 折射车为，151：在光纤中周期性地改变纤心材科的折射率，其改变丁的部分的材料折射率为 西=1.55：折射率分州为乃和川·厚度分别为4，和4的介质层相间排布，总层数为，其纵向部 面图如图（所示.在该器件设计过程中，一般只考虑每层界面的单次反对，忍暗光在介质传播过 程中的吸收报耗。假设入射光在真空中的波长为2-1.64m,当反射光相干叠加加强时，则海层 的厚度山和山最小应分别为多少？者要求器件反射率达到8%，则总层数N至少为多少？ 提示：如图所示，当光从析对军几，介度華直入射到折射革为介顽时，界面上产生反射利透射， 有： 反射光电场强度。九一凸 透射光电场强度。24，反时率 反射光鸟场强度 入射光电场强度片+书 入射光电场强度片+马 入射光场强度 层数 12345 折射情 121H3月1H阳 入射光 入射光 透射光 、发射光 44 反射光 厚度 d的d山dd 图(a) 图(6 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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参考答案：先分析光波在第一层介质中的来回传插。当光从光年（基体折射率为方）入射到折射 率为儿的第一层介质表由时，假设人射光场（电场强变）为，则其反射光场为 an-na ① 式中，”一具，其透射光场为 片+月 en=ia @ 式口=2么，当光波射到折射率为内的第二层个质表面时，先不考忠光波在第一层分质中专 卡色 播过程中的相位变化，其反射光场为 a2=4a-4a-5a ② 有+名 注意到4，>0，可如③式等式右增的因了(-1)表示4，和a,之间存在180°相位差。 现考忠光波在第一层介质中来回传香过程十的相位变化如果第一是介质最小厚度（印小于 光波在该介质中的波长)为 4=是-101nm ④ 4n24x1.55 则反射光场a2在入射处界面要附斯180”相位差，它与反射光场a,正好相干叠加加强.则在入对 处界而反射光场为 da=tina 0 它透过第一层介质后成为 a=450 窗 式中 一 © 元+乃 片+马 再分析光波在第一、二层介质的来回传播，当光波射到折射率为的第二层介质的前界直时， 先不考电光波在第一、二层介质中专潘过程中的相位变化，其透集光场为 91=241=@ ⑧ 则按照前面类似的分析，在通过第二层介质经第二，三层介质界面反射并返回至在入射处界面， 反射光场应为 =)》a 9 现考虑光欲在算一、二层介质中传播过程中的相位变化，若第二层介质取最小厚度 d-2-106017nm 0 4n4×151 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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参考答案：先分析光波在第一层介质中的来回传插。当光从光年（基体折射率为方）入射到折射 率为儿的第一层介质表由时，假设人射光场（电场强变）为，则其反射光场为 an-na ① 式中，”一具，其透射光场为 片+月 en=ia @ 式口=2么，当光波射到折射率为内的第二层个质表面时，先不考忠光波在第一层分质中专 卡色 播过程中的相位变化，其反射光场为 a2=4a-4a-5a ② 有+名 注意到4，>0，可如③式等式右增的因了(-1)表示4，和a,之间存在180°相位差。 现考忠光波在第一层介质中来回传香过程十的相位变化如果第一是介质最小厚度（印小于 光波在该介质中的波长)为 4=是-101nm ④ 4n24x1.55 则反射光场a2在入射处界面要附斯180”相位差，它与反射光场a,正好相干叠加加强.则在入对 处界而反射光场为 da=tina 0 它透过第一层介质后成为 a=450 窗 式中 一 © 元+乃 片+马 再分析光波在第一、二层介质的来回传播，当光波射到折射率为的第二层介质的前界直时， 先不考电光波在第一、二层介质中专潘过程中的相位变化，其透集光场为 91=241=@ ⑧ 则按照前面类似的分析，在通过第二层介质经第二，三层介质界面反射并返回至在入射处界面， 反射光场应为 =)》a 9 现考虑光欲在算一、二层介质中传播过程中的相位变化，若第二层介质取最小厚度 d-2-106017nm 0 4n4×151 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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参考答案：先分析光波在第一层介质中的来回传插。当光从光年（基体折射率为方）入射到折射 率为儿的第一层介质表由时，假设人射光场（电场强变）为，则其反射光场为 an-na ① 式中，”一具，其透射光场为 片+月 en=ia @ 式口=2么，当光波射到折射率为内的第二层个质表面时，先不考忠光波在第一层分质中专 卡色 播过程中的相位变化，其反射光场为 a2=4a-4a-5a ② 有+名 注意到4，>0，可如③式等式右增的因了(-1)表示4，和a,之间存在180°相位差。 现考忠光波在第一层介质中来回传香过程十的相位变化如果第一是介质最小厚度（印小于 光波在该介质中的波长)为 4=是-101nm ④ 4n24x1.55 则反射光场a2在入射处界面要附斯180”相位差，它与反射光场a,正好相干叠加加强.则在入对 处界而反射光场为 da=tina 0 它透过第一层介质后成为 a=450 窗 式中 一 © 元+乃 片+马 再分析光波在第一、二层介质的来回传播，当光波射到折射率为的第二层介质的前界直时， 先不考电光波在第一、二层介质中专潘过程中的相位变化，其透集光场为 91=241=@ ⑧ 则按照前面类似的分析，在通过第二层介质经第二，三层介质界面反射并返回至在入射处界面， 反射光场应为 =)》a 9 现考虑光欲在算一、二层介质中传播过程中的相位变化，若第二层介质取最小厚度 d-2-106017nm 0 4n4×151 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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