第24届全国中学生物理竞赛决赛试题 2007年11月宁波 ★理论部分 一、 A,B,C三个刚性小球静止在光滑的水平面 上.它们的质量皆为m,用不可伸长的长度皆为1 的柔软轻线相连，AB的延长线与BC的夹角a=π/ 3,如图所示.在此平面内取正交坐标系Oxy, B 原点O与B球所在处重合，x轴正方向和y轴正方 向如图.另一质量也是m的刚性小球D位于y轴 上，沿y轴负方向以速度o(如图)与B球发生弹性正碰，碰撞时间极短.设刚碰完后， 连接A,B,C的连线都立即断了.求碰后经多少时间，D球距A,B,C三球组成的系 统的质心最近. 二、 为了近距离深测太阳并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的 携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点 到太阳的距离为0.01AU(AU为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：1AU= 1.495×101m),并与地球具有相同的绕日运行周期（为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运 动).试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度0（发射速度是指在关闭火箭发动 机，停止对飞船加速时飞船的速度)发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地 球绕太阳运行轨道附近（也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上）进入 符合要求的椭圆轨道绕日运行？已知地球半径R。=6.37×10的m,地面处的重力加速度g= 9.80m/s2,不考虑空气的阻力. 三、 如图所示，在一个竖直放置的封闭的高为H、内壁横截面积为S的绝热气缸内，有一 质量为m的绝热活塞A把缸内分成上、下两部分.活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动.缸 内顶部与A之间串联着两个劲度系数分别为k1和2(k1≠2)的轻质弹簧.A的上方为真空：
1 第 24 届全国中学生物理竞赛决赛试题 2007 年 11 月 宁波 ★ 理论部分 一、 A ，B ，C 三个刚性小球静止在光滑的水平面 上．它们的质量皆为 m ，用不可伸长的长度皆为 l 的柔软轻线相连，AB 的延长线与 BC 的夹角 α = π / 3 ，如图所示．在此平面内取正交坐标系 Oxy ， 原点 O 与 B 球所在处重合，x 轴正方向和 y 轴正方 向如图．另一质量也是 m 的刚性小球 D 位于 y 轴 上，沿 y 轴负方向以速度 v0（如图）与 B 球发生弹性正碰，碰撞时间极短．设刚碰完后， 连接 A ，B ，C 的连线都立即断了．求碰后经多少时间，D 球距 A ，B ，C 三球组成的系 统的质心最近． 二、 为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的 携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点 到太阳的距离为 0.01AU（AU 为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：1AU = 1.495 ×1011 m），并与地球具有相同的绕日运行周期（为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运 动）．试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度 u0（发射速度是指在关闭火箭发动 机，停止对飞船加速时飞船的速度）发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地 球绕太阳运行轨道附近（也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上）进入 符合要求的椭圆轨道绕日运行？已知地球半径 Re = 6.37 ×106 m ，地面处的重力加速度 g = 9.80 m / s2 ，不考虑空气的阻力． 三、 如图所示，在一个竖直放置的封闭的高为 H 、内壁横截面积为 S 的绝热气缸内，有一 质量为 m的绝热活塞 A把缸内分成上、下两部分．活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动．缸 内顶部与 A 之间串联着两个劲度系数分别为 k1和 k2（k1≠k2）的轻质弹簧．A 的上方为真空； y D C v0 l α O x A l B
A的下方盛有一定质量的理想气体.己知系统处于平衡 状态，A所在处的高度（其下表面与缸内底部的距离） 与两弹簧总共的压缩量相等皆为h1=H14.现给电炉丝 R通电流对气体加热，使A从高度1开始上升，停止加 热后系统达到平衡时活塞的高度为m=3H/4.求此过 程中气体吸收的热量△Q,已知当体积不变时，每摩尔 该气体温度每升高1K吸收的热量为3R/2,R为普适 气体恒量.在整个过程中假设弹簧始终遵从胡克定律。 四、 为了减少线路的输电损耗，电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式.在传 输线路上建造一系列接地的铁塔，把若干绝缘子连成串（称为绝缘子串，见图甲），其上端 A挂在铁塔的横臂上，高压输电线悬挂在其下端B.绝缘子的结构如图乙所示：在半径为 R的导体球外紧包一层耐高压的半球形陶瓷绝缘介质，介质外是一内半径为R2的半球形导 体球壳.己知当导体球与导体球壳间的电压为U时，介质中离球心O的距离为”处的场强 为E=ERU R2一R产，场强方向沿径向. 半球形导体球壳 绝缘层 导体球 图甲 图乙 1.已知绝缘子导体球壳的内半径R2=4.6cm,陶瓷介质的击穿强度Ek=135kV/ cm.当介质中任一点的场强E>Ek时，介质即被击穿，失去绝缘性能.为使绝缘子所能承 受的电压（即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压）为最大，导体球的半径R1应取什
2 A 的下方盛有一定质量的理想气体．已知系统处于平衡 状态，A 所在处的高度（其下表面与缸内底部的距离） 与两弹簧总共的压缩量相等皆为 h1 = H / 4 ．现给电炉丝 R 通电流对气体加热，使 A 从高度 h1开始上升，停止加 热后系统达到平衡时活塞的高度为 h2 = 3H / 4 ．求此过 程中气体吸收的热量△Q ．已知当体积不变时，每摩尔 该气体温度每升高 1 K 吸收的热量为 3R / 2 ，R 为普适 气体恒量．在整个过程中假设弹簧始终遵从胡克定律． 四、 为了减少线路的输电损耗，电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式．在传 输线路上建造一系列接地的铁塔，把若干绝缘子连成串（称为绝缘子串，见图甲），其上端 A 挂在铁塔的横臂上，高压输电线悬挂在其下端 B．绝缘子的结构如图乙所示：在半径为 R1的导体球外紧包一层耐高压的半球形陶瓷绝缘介质，介质外是一内半径为 R2的半球形导 体球壳．已知当导体球与导体球壳间的电压为 U 时，介质中离球心 O 的距离为 r 处的场强 为 E = R1R2 R2－R1 U r2 ，场强方向沿径向． 1．已知绝缘子导体球壳的内半径 R2 = 4.6 cm ，陶瓷介质的击穿强度 Ek = 135 kV / cm ．当介质中任一点的场强 E ＞Ek时，介质即被击穿，失去绝缘性能．为使绝缘子所能承 受的电压（即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压）为最大，导体球的半径 R1 应取什 H A B 图甲 半球形导体球壳 绝缘层 导体球 图乙
么数值？此时，对应的交流电压的有效值是多少？ 2.一个铁塔下挂有由四个绝缘子组成的绝缘子串（如图甲），每个绝缘子的两导体间有 电容C,每个绝缘子的下部导体（即导体球）对于铁塔（即对地）有分布电容C:(导体球 与铁塔相当于电容器的两个导体极板，它们之间有一定的电容，这种电容称为分布电容)： 每个绝缘子的上部导体（即导体球壳）对高压输电线有分布电容C2·若高压输电线对地电 压的有效值为U6.试画出该系统等效电路图， 3.若C0=70pF=7×101F,C1=5pF,C2=1pF,试计算该系统所能承受的最大 电压（指有效值）. 五、 y 如图所示，G为一竖直放置的细长玻璃管，以其底 端O为原点，建立一直角坐标系Oy,y轴与玻璃管的 G 轴线重合.在x轴上与原点O的距离为d处固定放置一 电荷量为Q的正点电荷A,一个电荷量为g(q>0)的 粒子P位于管内，可沿y轴无摩擦地运动。设两电荷之 间的库仑相互作用力不受玻璃管的影响. 0 1.求放在管内的带电粒子P的质量m满足什么条 件时，可以在y>0的区域内存在平衡位置. 2.上述平衡状态可以是稳定的，也可能是不稳定的：它依赖于粒子的质量m,以y(m) 表示质量为m的粒子P处于平衡位置时的y坐标.当粒子P处于稳定平衡状态时，y(m) 的取值区间是 :当粒子P处于不稳定平衡状态时，y(m)的取值区间是 (请将填空答案写在答题纸上). 3.己知质量为m1的粒子P处于稳定平衡位置，其y坐标为y·现给P沿y轴一微小 扰动.试证明以后的运动为简谐运动，并求此简谐运动的周期 4.已知质量为m2的粒子P的不稳定平衡位置的y坐标为2，现设想把P放在坐标处， 然后从静止开始释放P.求释放后P能到达玻璃管底部的所有可能的？（只要列出3满足 的关系式，不必求解)
3 么数值？此时，对应的交流电压的有效值是多少？ 2．一个铁塔下挂有由四个绝缘子组成的绝缘子串（如图甲），每个绝缘子的两导体间有 电容 C0 ．每个绝缘子的下部导体（即导体球）对于铁塔（即对地）有分布电容 C1（导体球 与铁塔相当于电容器的两个导体极板，它们之间有一定的电容，这种电容称为分布电容）； 每个绝缘子的上部导体（即导体球壳）对高压输电线有分布电容 C2 ．若高压输电线对地电 压的有效值为 U0 ．试画出该系统等效电路图． 3．若 C0 = 70 pF = 7 × 10－11 F ，C1 = 5 pF ，C2 = 1 pF ，试计算该系统所能承受的最大 电压（指有效值）． 五、 如图所示，G 为一竖直放置的细长玻璃管，以其底 端 O 为原点，建立一直角坐标系 Oxy ，y 轴与玻璃管的 轴线重合．在 x 轴上与原点 O 的距离为 d 处固定放置一 电荷量为 Q 的正点电荷 A ，一个电荷量为 q（q＞0）的 粒子 P 位于管内，可沿 y 轴无摩擦地运动．设两电荷之 间的库仑相互作用力不受玻璃管的影响． 1．求放在管内的带电粒子 P 的质量 m 满足什么条 件时，可以在 y＞0 的区域内存在平衡位置． 2．上述平衡状态可以是稳定的，也可能是不稳定的；它依赖于粒子的质量 m ．以 y（m） 表示质量为 m 的粒子 P 处于平衡位置时的 y 坐标．当粒子 P 处于稳定平衡状态时，y（m） 的取值区间是_________________；当粒子 P 处于不稳定平衡状态时，y（m）的取值区间是 _________________（请将填空答案写在答题纸上）． 3．已知质量为 m1的粒子 P 处于稳定平衡位置，其 y 坐标为 y1 ．现给 P 沿 y 轴一微小 扰动．试证明以后的运动为简谐运动，并求此简谐运动的周期． 4．已知质量为 m2的粒子 P 的不稳定平衡位置的y 坐标为 y2 ，现设想把 P放在坐标 y3 处， 然后从静止开始释放 P．求释放后 P 能到达玻璃管底部的所有可能的 y3（只要列出 y3 满足 的关系式，不必求解）． y G P O d A x
六、 如图所示，一半径为R、折射率为 ng的透明球体置于折射率o=1的空气 中，其球心位于图中光轴的O处，左、 01 右球面与光轴的交点为O1与O2,球体 右半球面为一球面反射镜，组成球形反 射器.光轴上O1点左侧有一发光物点P,P点到球面顶点O1的距离为s,由P点发出的 光线满足傍轴条件，不考虑在折射面上发生的反射. 1.问发光物点P经此反射器，最后的像点位于何处？ 2.当P点沿光轴以大小为ⅴ的速度由左向右匀速运动时，试问最后的像点将以怎样的 速度运动？并说明当球体的折射率？取何值时像点亦做匀速运动. 七、 已知钠原子从激发态（记做P;12)跃迁到基态（记做S112)所发出的光谱线波长0 =588.9965m,现有一团钠原子气，其中的钠原子做无规的热运动（钠原子的运动不必考 虑相对论效应)，被一束沿：轴负方向传播的波长为1=589.0080m的激光照射.以0表 示钠原子运动方向与：轴正方向之间的夹角（如图所示）.问在30°<0<45°角度区间 内的钠原子中速率“在什么范围内能产生共振吸收，从S12态激发到P32态？并求共振吸 收前后钠原子速度（矢量）变化的大小.已知钠原子质量为M=3.79×1026kg,普朗克常 量h=6.626069×1034J·s,真空中的光速c=2.997925×10ms1. 钠原子 ●0 激光束
4 六、 如图所示，一半径为 R 、折射率为 ng 的透明球体置于折射率 n0 =1 的空气 中，其球心位于图中光轴的 O 处，左、 右球面与光轴的交点为 O1与 O2 ．球体 右半球面为一球面反射镜，组成球形反 射器．光轴上 O1点左侧有一发光物点 P ，P 点到球面顶点 O1的距离为 s ．由 P 点发出的 光线满足傍轴条件，不考虑在折射面上发生的反射． 1．问发光物点 P 经此反射器，最后的像点位于何处？ 2．当 P 点沿光轴以大小为 v 的速度由左向右匀速运动时，试问最后的像点将以怎样的 速度运动？并说明当球体的折射率 ng 取何值时像点亦做匀速运动． 七、 已知钠原子从激发态（记做 P3 / 2）跃迁到基态（记做 S1 / 2）所发出的光谱线波长 λ0 =588.9965 nm ．现有一团钠原子气，其中的钠原子做无规的热运动（钠原子的运动不必考 虑相对论效应），被一束沿 z 轴负方向传播的波长为 λ = 589.0080 nm 的激光照射．以 θ 表 示钠原子运动方向与 z 轴正方向之间的夹角（如图所示）．问在 30° ＜ θ ＜45° 角度区间 内的钠原子中速率 u 在什么范围内能产生共振吸收，从 S1 / 2 态激发到 P3 / 2 态？并求共振吸 收前后钠原子速度（矢量）变化的大小．已知钠原子质量为 M = 3.79 × 10－26 kg ，普朗克常 量 h = 6.626069 × 10－34 J •s ，真空中的光速 c = 2.997925 × 108 m •s －1 ． P O1 O2 s 钠原子 激光束 u z θ
第24届全国中学生物理竞赛决赛参考解答 1.分析刚碰后各球速度的方向.由于D与B球发生弹性正碰，所以碰后D球的速度 方向仍在y轴上：设其方向沿y轴正方向， 大小为ⅴ，由于线不可伸长，所以在D,B 两球相碰的过程中，A,C两球都将受到线 给它们的冲量：又由于线是柔软的，线对A, U C两球均无垂直于线方向的作用力，因此刚 碰后，A球的速度沿AB方向，C球的速度沿 B CB方向.用O表示B球的速度方向与x轴的 夹角，则各球速度方向将如图所示.因为此时连接A,B，C三球的两根线立即断了，所 以此后各球将做匀速直线运动： 2.研究碰撞后各球速度的大小.以y1,2,3分别表示刚碰后A,B,C三球速度 的大小，如图所示.因为碰撞过程中动量守恒，所以沿x方向有 mvi-mv3 cosa+mv2 cos0=0 (1) 沿y方向有 一mvo=一v2sind-mv3sina. (2) 根据能量守恒有 (3) 因为碰撞过程中线不可伸长，B,C两球沿BC方向的速度分量相等，A,B两球沿 AB方向的速度分量相等，有 V2 COS=vI (4) 2cos[π-(a+0)]=v3. (5) 将a=π/3代入，由以上各式可解得 3 V1= 120, (6) 12i 2= 66, (7) V3= 30, (8)
5 第 24 届全国中学生物理竞赛决赛参考解答 一、 1．分析刚碰后各球速度的方向．由于 D 与 B 球发生弹性正碰，所以碰后 D 球的速度 方向仍在 y 轴上；设其方向沿 y 轴正方向， 大小为 v ．由于线不可伸长，所以在 D ，B 两球相碰的过程中，A ，C 两球都将受到线 给它们的冲量；又由于线是柔软的，线对 A ， C 两球均无垂直于线方向的作用力，因此刚 碰后，A 球的速度沿 AB 方向，C 球的速度沿 CB 方向．用 θ 表示 B 球的速度方向与 x 轴的 夹角，则各球速度方向将如图所示．因为此时连接 A ，B ，C 三球的两根线立即断了，所 以此后各球将做匀速直线运动． 2．研究碰撞后各球速度的大小．以 v1 ，v2 ，v3 分别表示刚碰后 A ，B ，C 三球速度 的大小，如图所示．因为碰撞过程中动量守恒，所以沿 x 方向有 mv1－mv3 cosα + mv2 cosθ = 0 ； （1） 沿 y 方向有 －mv0 = mv － mv2 sinθ －mv3 sinα ． （2） 根据能量守恒有 1 2 mv 2 0 = 1 2 mv 2 1 + 1 2 mv 2 2 + 1 2 mv 2 3 + 1 2 mv2 ． （3） 因为碰撞过程中线不可伸长，B ，C 两球沿 BC 方向的速度分量相等，A ，B 两球沿 AB 方向的速度分量相等，有 v2 cosθ = v1 ， （4） v2 cos [ π － ( α + θ ) ] = v3 ． （5） 将 α = π / 3 代入，由以上各式可解得 v1 = 3 12 v0 ， （6） v2 = 21 6 v0 ， （7） v3 = 3 3 v0 ， （8）
v=40· (9) 3.确定刚碰完后，A,B,C三球组成的系统质心的位置和速度.由于碰撞时间极短， 刚碰后A，B，C三球组成的系统，其质心位置就是碰撞前质心的位置，以(x，)表 示此时质心的坐标，根据质心的定义，有 x=ml cosa-ml (10) 3m ml sina = (11) 3m 代入数据，得 e=一 (12) 61. (13) 根据质心速度的定义，可求得碰后质心速度的分量为 mv1+mv2 cos0-mv3 cosa (14) 3m 一mw2sin0-mw3sina Ver= (15) 3m 由(4)~(7)和(14)，(15)各式及a值可得 Vc=0, (16) 5 Vey=- 120. (17) 4.讨论碰后A,B,C三球组成的系统的质心和D球的运动.刚碰后A,B,C三 球组成的系统的质心将从坐标(x。=一I/6，=V31/6)处出发，沿y轴负方向以大小 为50/12的速度做匀速直线运动：而D球则从坐标原点O出发，沿y轴正方向以大小为 %/4的速度做匀速直线运动.A,B,C三球组成系统的质心与D球是平行反向运动，只 要D球与C球不发生碰撞，则沁，D不变，质心与D球之间的距离逐渐减少.到y坐标 相同处时，它们相距最近.用1表示所求的时间，则有 vI=ye Vey I (18) 将'ey,v,的值代入，得 (19) 4v0 此时，D球与A,B,C三球组成系统的质心两者相距1/6，在求出(19)式的过程 中，假设了在1=V31/4o时间内C球未与D球发生碰撞.下面说明此假设是正确的： 因为v3=o/3,它在x方向分量的大小为V3o/6.经过1时间，它沿x轴负方向经
6 v = 1 4 v0 ． （9） 3．确定刚碰完后，A ，B ，C 三球组成的系统质心的位置和速度．由于碰撞时间极短， 刚碰后 A ，B ，C 三球组成的系统，其质心位置就是碰撞前质心的位置，以（xc ，yc）表 示此时质心的坐标，根据质心的定义，有 xc = ml cosα－ml 3m ， （10） yc = ml sinα 3m ． （11） 代入数据，得 xc = － 1 6 l ， （12） yc = 3 6 l ． （13） 根据质心速度的定义，可求得碰后质心速度 vc的分量为 vcx = mv1 + mv2 cosθ－mv3 cosα 3m ， （14） vcy = －mv2 sinθ－mv3sinα 3m ． （15） 由（4）～（7）和（14），（15）各式及 α 值可得 vcx = 0 ， （16） vcy = － 5 12v0 ． （17） 4．讨论碰后 A ，B ，C 三球组成的系统的质心和 D 球的运动．刚碰后 A ，B ，C 三 球组成的系统的质心将从坐标（xc = －l / 6 ，yc = 3l / 6）处出发，沿 y 轴负方向以大小 为 5 v0 / 12 的速度做匀速直线运动；而 D 球则从坐标原点 O 出发，沿 y 轴正方向以大小为 v0 / 4 的速度做匀速直线运动．A ，B ，C 三球组成系统的质心与 D 球是平行反向运动，只 要 D 球与 C 球不发生碰撞，则 vC ，vD不变，质心与 D 球之间的距离逐渐减少．到 y 坐标 相同处时，它们相距最近．用 t 表示所求的时间，则有 vt = yc + vcy t （18） 将 vcy ，v ，yc的值代入，得 t = 3l 4v0 ． （19） 此时，D 球与 A ，B ，C 三球组成系统的质心两者相距 l / 6 ．在求出（19）式的过程 中，假设了在 t = 3l / 4v0 时间内 C 球未与 D 球发生碰撞．下面说明此假设是正确的； 因为 v3 = 3v0 / 3 ，它在 x 方向分量的大小为 3v0 / 6．经过 t 时间，它沿 x 轴负方向经
过的距离为I/8·而C球的起始位置的x坐标为I/2·经1时间后，C球尚未到达y轴， 不会与D球相碰. 二 从地球表面发射宇宙飞船时，必须给飞船 以足够大的动能，使它在克服地球引力作用后， 仍具有合适的速度进入绕太阳运行的椭圆轨 道.此时，飞船离地球已足够远，但到太阳的 S海 距离可视为不变，仍为日地距离.飞船在地球 绕太阳运动的轨道上进入它的椭圆轨道，用E 、b 表示两轨道的交点，如图1所示.图中半径为 Ve rc的圆A是地球绕太阳运行的轨道，太阳S位 图1 于圆心.设椭圆B是飞船绕日运行的轨道，P为椭圆轨道的近日点. 由于飞船绕日运行的周期与地球绕日运行的周期相等，根据开普勒第三定律，椭圆的半 长轴a应与日地距离rsc相等，即有 a=Ise (1) 根据椭圆的性质，轨道上任一点到椭圆两焦点的距离之和为2α，由此可以断定，两轨道的 交点E必为椭圆短轴的一个顶点，E与椭圆长轴和短轴的交点Q(即椭圆的中心)的连线垂 直于椭圆的长轴.由△ESQ,可以求出半短轴 b=rse-(a-SPy (2) 由(1)，(2)两式，并将a=re=1AU,SP=0.01AU代入，得 b=0.141AU. (3) 在飞船以椭圆轨道绕太阳运行过程中，若以太阳为参考系，飞船的角动量和机械能是守恒 的.设飞船在E点的速度为ⅴ，在近日点的速度为。，飞船的质量为m,太阳的质量为 M,则有 mva sing =myp Sp (4) 式中O为速度v的方向与E,S两点连线间的夹角： sing=b (5) 由机械能守恒，得 >
7 过的距离为 l / 8 ．而 C 球的起始位置的 x 坐标为 l / 2 ．经 t 时间后，C 球尚未到达 y 轴， 不会与 D 球相碰． 二、 从地球表面发射宇宙飞船时，必须给飞船 以足够大的动能，使它在克服地球引力作用后， 仍具有合适的速度进入绕太阳运行的椭圆轨 道．此时，飞船离地球已足够远，但到太阳的 距离可视为不变，仍为日地距离．飞船在地球 绕太阳运动的轨道上进入它的椭圆轨道，用 E 表示两轨道的交点，如图 1 所示．图中半径为 rse的圆 A 是地球绕太阳运行的轨道，太阳 S 位 于圆心．设椭圆 B 是飞船绕日运行的轨道，P 为椭圆轨道的近日点． 由于飞船绕日运行的周期与地球绕日运行的周期相等，根据开普勒第三定律，椭圆的半 长轴 a 应与日地距离 rse相等，即有 a = rse （1） 根据椭圆的性质，轨道上任一点到椭圆两焦点的距离之和为 2a ，由此可以断定，两轨道的 交点 E 必为椭圆短轴的一个顶点，E 与椭圆长轴和短轴的交点 Q（即椭圆的中心）的连线垂 直于椭圆的长轴．由△ESQ ，可以求出半短轴 b = r 2 se－ ( a － SP ) 2 ． （2） 由（1），（2）两式，并将 a = rse = 1AU ，SP = 0.01 AU 代入，得 b = 0.141AU ． （3） 在飞船以椭圆轨道绕太阳运行过程中，若以太阳为参考系，飞船的角动量和机械能是守恒 的．设飞船在 E 点的速度为 v ，在近日点的速度为 vp ，飞船的质量为 m ，太阳的质量为 Ms ，则有 mva sinθ = mvp SP ， （4） 式中 θ 为速度 v 的方向与 E ，S 两点连线间的夹角： sinθ = b a ． （5） 由机械能守恒，得 A rse P v ve B 图 1
im-G Mm im GmM, a=2mvp- (6) SP 因地球绕太阳运行的周期T是已知的(T=365d),若地球的质量为M,则有 G坐=M(停a· (7) 解(3)~(7)式，并代入有关数据，得 v=29.8km/s. (8) (8)式给出的ⅴ是飞船在E点相对于太阳的速度的大小，即飞船在克服地球引力作用后从 E点进入椭圆轨道时所必须具有的相对于太阳的速度.若在E点飞船相对地球的速度为， 因地球相对于太阳的公转速度为 = 2πa =29.8km/s, (9) 方向如图1所示.由速度合成公式，可知 v=u+Ve (10) 速度合成的矢量图如图2所示，注意到与ES垂直，有 图2 =1VP+-2w.c0s(-0), (11) 代入数据，得 u=39.1km/s, (12) “是飞船在E点相对于地球的速度，但不是所要求的发射速度o·为了求得o,可以从与 地心固定连接在一起的参考系来考察飞船的运动.因飞船相对于地球的发射速度为o时， 飞船离地心的距离等于地球半径R,当飞船相对于地球的速度为时，地球引力作用可以 忽略.由能量守恒，有 P
8 1 2 mv2 －G Msm a = 1 2 mv 2 p － GmMs SP ． （6） 因地球绕太阳运行的周期 T 是已知的（T = 365 d），若地球的质量为 Me ，则有 G MsMe a2 = Me ( 2π T )2 a ． （7） 解（3）～（7）式，并代入有关数据，得 v = 29.8 km / s ． （8） （8）式给出的 v 是飞船在 E 点相对于太阳的速度的大小，即飞船在克服地球引力作用后从 E 点进入椭圆轨道时所必须具有的相对于太阳的速度．若在 E 点飞船相对地球的速度为 u ， 因地球相对于太阳的公转速度为 ve = 2πa T = 29.8 km / s ， （9） 方向如图 1 所示．由速度合成公式，可知 v = u + ve ， （10） 速度合成的矢量图如图 2 所示，注意到 ve与 ES 垂直，有 u = v2 + v 2 e－2vvecos ( π 2－θ ) ， （11） 代入数据，得 u = 39.1 km / s ． （12） u 是飞船在 E 点相对于地球的速度，但不是所要求的发射速度 u0 ．为了求得 u0 ，可以从与 地心固定连接在一起的参考系来考察飞船的运动．因飞船相对于地球的发射速度为 u0 时， 飞船离地心的距离等于地球半径 Re ．当飞船相对于地球的速度为 u 时，地球引力作用可以 忽略．由能量守恒，有 图 2
Mem 1 7-GRe2m (13) 地面处的重力加速度为 8=G Me (14) R 解(13)，(14)两式，得 0=V22+2gR。. (15) 由(15)式及有关数据，得 o=40.7km/s. (16) 如果飞船在E点处以与图示相反的方向进入椭圆轨道，则(11)式要做相应的改变.此 时，它应为 u=P+-2m.cs(+0), (17) 相应计算，可得另一解 u=45.0km/s,o=46.4km/s· (18) 如果飞船进入椭圆轨道的地点改在E点的对称点处（即地球绕日轨道与飞船绕日轨道 的另一个交点上)，则计算过程相同，结果不变 三 两个弹簧串联时，作为一个弹簧来看，其劲度系数 = (1) 设活塞A下面有mol气体.当A的高度为h时，气体的压强为p1,温度为T·由 理想气体状态方程和平衡条件，可知 piSh=vRT (2) p1S=kh1+mg· (3) 对气体加热后，当A的高度为2时，设气体压强为p2,温度为T乃，由理想气体状态 方程和平衡条件，可知 p2Sh2=vRT2 (4) p2S=kh2+mg. (5) 在A从高度h1上升到h2的过程中，气体内能的增量 3 △U=2R(h-T)· (6) 气体对弹簧、活塞系统做的功W等于弹簧弹性势能的增加和活塞重力势能的增加，即 9
9 1 2 mu 2 0 －G Mem Re = 1 2 mu2 ． （13） 地面处的重力加速度为 g = G Me R2 e ， （14） 解（13），（14）两式，得 u0 = u2 + 2gRe ． （15） 由（15）式及有关数据，得 u0 = 40.7 km / s ． （16） 如果飞船在 E 点处以与图示相反的方向进入椭圆轨道，则（11）式要做相应的改变．此 时，它应为 u = v2 + v 2 e－2vvecos ( π 2 + θ ) ， （17） 相应计算，可得另一解 u = 45.0 km / s ， u0 = 46.4 km / s ． （18） 如果飞船进入椭圆轨道的地点改在 E 点的对称点处（即地球绕日轨道与飞船绕日轨道 的另一个交点上），则计算过程相同，结果不变． 三、 两个弹簧串联时，作为一个弹簧来看，其劲度系数 k = k1k2 k1 + k2 ． （1） 设活塞 A 下面有 νmol 气体．当 A 的高度为 h1时，气体的压强为 p1 ，温度为 T1 ．由 理想气体状态方程和平衡条件，可知 p1Sh1 = vRT1 ， （2） p1S = kh1 + mg ． （3） 对气体加热后，当 A 的高度为 h2时，设气体压强为 p2 ，温度为 T2 ．由理想气体状态 方程和平衡条件，可知 p2Sh2 = vRT2 ， （4） p2S = kh2 + mg ． （5） 在 A 从高度 h1上升到 h2的过程中，气体内能的增量 △U = v 3 2 R ( T2－T1 ) ． （6） 气体对弹簧、活塞系统做的功 W 等于弹簧弹性势能的增加和活塞重力势能的增加，即
w=(房-片)+mgh一h)· (7) 根据热力学第一定律，有 △Q=△U+W. (8) 由以上各式及已知数据可求得 △0=r+h. kik2 (9) 四、 1.根据题意，当导体球与导体球壳间的电压为U时，在距球心r(R1<r<R)处， 电场强度的大小为 RiR2 U E= R-RF· (1) 在P=R1,即导体球表面处，电场强度最大.以E(R)表示此场强，有 E(R1)= R2U (2) (R2-R1)RI 因为根据题意，E(R1)的最大值不得超过Ek,R2为已知，故(2)式可写为 R2U Ex=(R2-Ri)R (3) 或 U=Ex (R2-R)RI (4) R2 由此可知，选择适当的R1值，使(R2一R1)R1最大，就可使绝缘子的耐压U为最大.不 难看出，当 R鱼 2 (5) 时，U便是绝缘子能承受的电压的最大值U.由(4)，(5)两式得 U=FiRe 4 (6) 代入有关数据，得 M=155kV. (7) 当交流电压的峰值等于从时，绝缘介质即被击穿.这时，对应的交流电压的有效值 - Uk 110kV. (8) 2.系统的等效电路如图所示 ⊙
10 W = 1 2 k ( h 2 2－h2 1 ) + mg (h2－h1 ) ． （7） 根据热力学第一定律，有 △Q =△U + W ． （8） 由以上各式及已知数据可求得 △Q = k1k2 k1 + k2 H2 + 5 4 mgH ． （9） 四、 1．根据题意，当导体球与导体球壳间的电压为 U 时，在距球心 r（R1＜ r ＜R2）处， 电场强度的大小为 E = R1R2 R2－R1 U r2 ． （1） 在 r = R1 ，即导体球表面处，电场强度最大．以 E（R1）表示此场强，有 E ( R1) = R2U (R2－R1) R1 ． （2） 因为根据题意，E（R1）的最大值不得超过 Ek ，R2为已知，故（2）式可写为 Ek = R2U (R2－R1) R1 （3） 或 U = Ek (R2－R1) R1 R2 ． （4） 由此可知，选择适当的 R1值，使(R2－R1) R1最大，就可使绝缘子的耐压 U 为最大．不 难看出，当 R1 = R2 2 （5） 时，U 便是绝缘子能承受的电压的最大值 Uk ．由（4），（5）两式得 Uk = EkR2 4 ， （6） 代入有关数据，得 Uk = 155 kV ． （7） 当交流电压的峰值等于 Uk时，绝缘介质即被击穿．这时，对应的交流电压的有效值 Ue = Uk 2 110 kV ． （8） 2．系统的等效电路如图所示．