中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷 题号 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 阅卷 复核 本卷共8题，满分160分， 填空题把答案填在题中的横线上或题给的表格中，只要给出结果，不需写出求解的过程， 计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和置要的演算步骤，只写出最后结果 的不能得分.有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位， 一、（17分)设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静.初始 得分 阅卷 复核 时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释 放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触。已知湖水密度为P;物 块边长为b,密度为p',且p<p.在只考虑物块受重力和液体浮 力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间. 物理竞赛复赛卷第1页（共8页） 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 二、(23分)设想在 得分 阅卷复核 地球赤道平面内有一 垂直于地面延伸到太 0.80R 空的轻质电梯，电梯 顶端可超过地球的同步卫星高度R(从地心 算起)延伸到太空深处.这种所谓的太空电 梯可用于低成本地发射绕地人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到 某高度，然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去 1.设在某次发射时，卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上升.该卫星在上升到 0.80R处意外地和太空电梯脱离（脱腐时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零） 而进入太空 i.论证卫星脱落后不会撞击地面. ⅱ.如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇，即可在它们相遇时回收该卫星.讨论该 卫星从脱落时刻起，在0-12小时及12-24小时两个时间段内被太空电梯回收的可能性. 2.如果太空电梯地点位于东经110度处，在太空电梯上离地心距离为Rx处有一卫 星从电梯脱离（脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零），脱离后该卫星轨 道刚好能和赤道某处相切，而使卫星在该点着地，试求卫星着地点的经度.提示：此问要 用数值方法求解高次方程. 已知：地球质量M=6.0×104kg,半径R.=6.4×10m的球体；引力恒量G=6.7× 10-N·m2·kg2；地球自转周期T。=24小时；假设卫星与太空电梯脱离后只受地球引 力作用。 物理竞赛复赛卷第2页（共8页） 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 三、(25分)如图所示，两根刚性轻 得分 阅卷 复核 杆AB和BC在B端牢固粘接在一起， B AB延长线与BC的夹角α为锐角，杆 BC长为l,杆AB长为lco8a.在杆的 A、B和C三点各固连一质量均为m的小球，构成一刚性系 统。整个系统放在光滑水平桌面上，桌面上有一固定的光滑 竖直挡板.杆AB延长线与挡板垂直.现使该系统以大小为、 方向沿AB的速度向挡板平动.在某时刻，小球C与挡板碰 撞，碰撞结束时球C在垂直于挡板方向的分速度为零，且球 C与挡板不粘连，若使球C碰撞后，球B先于球A与挡板相碰，求夹角α应满足的条件 物理竞赛复赛卷第3页（共8页） 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 四、(21分)如图所示， h 得分 阅卷 复核 虚线小方框是由2n个电 h 容器联成的有限网络； h把 虚线大方框是并联的两 ph 脚 个相同的无限网络.此无限网络的结构是：从 左到中间，每个电容器的右极板与两个电容器 的左极板相连，直至无穷；从中间到右，每两 个电容器的右极板与个电容器的左极板相连， 直至联结到一个电容器为止.网络中的所有电 容器都是完全相同的平行板真空电容器，其极板面积为S,极板间距为d（d0)的金属薄板沿平行于ā的极板方向全部插人到电容器a 中，使金属薄板距电容器a左极板的距离为“，求此时电容器a的左极板所带的电荷量。 物理竞赛复赛卷第4页（共8页） 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 五、(25分)如图所示，两个半径不· 得分 阅卷 复核 等的用细金属导线做成的同心圆环固 定在水平的桌面上.大圆环半经为 R,小圆环表面绝缘半经为 R2(R2R2)的b位置，以速度v 匀速向右沿水平面滑动到相对于大圆环中心与b对称的位置 cd,滑动过程中金属杆始终与大圆环保持密接.假设金属杆 和大圆环的电流在小圆环处产生的磁场均可视为匀强磁场.试求在上述滑动过程中通过小 圆环导线横截面的电荷量 提示：当半径为R、长度为！的一段圆弧导线通有电流1时，圆弧电流在圆心处产生 的磁感应强度大小为B=水，是，方向垂直于圆弧所在平面且与圆孤电流的方向满足右手 螺旋法则；无限长直导线通有电流1时，电流在距直导线距离为，处产生的磁感应强度B 的大小为B=k以，其中k是已知常量 物理竞赛复赛卷第5页（共8页） 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 六、(15分)如图所示，刚 阀门 得分 阅卷 复核 性绝热容器A和B水平放置， 一根带有绝热阀门和多孔塞 B 的绝热刚性细短管把容器A、 B相互连通.初始时阀门是关闭的，A内装有某种理 想气体，温度为T；B内为真空.现将阀门打开， 多孔塞 气体缓慢通过多孔塞后进入容器B中.当容器A中 气体的压强降到与初始时A中气体压强之比为α时，重新关闭阀门.设最后留在容器A内 的那部分气体与进人容器B中的气体之间始终无热量交换，求容器B中气体质量与气体总 质盘之比.已知：1摩尔理想气体的内能为u=CT,其中C是已知常量，T为绝对温度； 一定质量的理想气体经历缓慢的绝热过程时，其压强p与体积V满足过程方程p共=常 量，其中R为普适气体常量。重力影响和连接管体积均忽略不计， 物理竞赛复赛卷第6页（共8页） 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 七、(16分)图中L1为一薄凸透镜，Q为高等于2.00cm与光轴垂 得分 阅卷 复核 直放置的线状物，已知Q经L1成一实像，像距为40.0cm现于L, 的右方依次放置薄凹透镜L、L3和薄凸透镜L以及屏P,它们之间 的距离如图所示，所有的透镜都共轴，屏与光轴垂直，L2、L,焦距 的大小均为15.0cm.已知物Q经上述四个透镜最后在屏上成倒立的实像，像高为 0.500cm. A k-27.5cm←-26.0cm 2.5cm 5.0cm 1.L焦距的大小为 cm,L4焦距的大小为 cm. 2.现保持Q、L、L,和P位置不变，而沿光轴平移L2和L3,最后在屏上成倒立的实 像，像高为1.82cm,此时L2到L1的距离为cm,L到L4的距离为 cm. 最后结果保留至小数点后一位. 八、(18分)如图所示，竖直固定平行放置的两条相 得分 阅卷 复核 同长直导线1和2相距为a（a<<长直导线的长度)， 两导线中通有方向和大小都相同的稳恒电流，电流方 向向上.导线中正离子都是静止的，每单位长度导线 中正离子的电荷量为入；形成电流的导电电子以速度。沿导线向下匀速运动， 每单位长度的导线中导电电子的电荷量为-入.已知：单位长度电荷量为刀 的无限长均匀带电直导线在距其距离为”处产生的电场的强度大小为 E=k巴，其中，是常址；当无限长直导线通有稳恒电流1时，电流在距导 线距离为r处产生磁场的磁感应强度大小为B=k,丛，其中名。是常量、试利 用狭义相对论中的长度收缩公式求常量k。和k.的比值. 提示：忽略重力；正离子和电子的电荷量与惯性参照系的选取无关；真 空中的光速为c 物理竞赛复赛卷第7页（共8页） 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷参考答案及评分标准 参考解答： 出于湖面足够宽河面物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过 程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向 建立坐标系，以下简称x系.设物块下底面的坐标为x,在物块未完全浸没入 湖水时，其所受到的浮力为 f。=bxpg (x≤b) (1) 式中g为重力加速度.物块的重力为 f=b'p'g (2) 设物块的加速度为a,根据牛顿第二定律有 bp'a=j&-人 (3) 将(1)(2)式代入(3)式得 a=- sx-6 (4) 将x系坐标原点向下移动pb1”而建立新坐标系，简称X系，新旧坐标的关 系为 X=x-Pb (5) p 把(5)式代入(4)式得 a=-竖x (6) Db (6)式表示物块的运动是简谐振动.若X=0,则a=0,对应于物块的平衡位置： 由(5)式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在x系中的坐标为 (7) 物块运动方程在X系中可写为 X(1)=Acos(at+o) (8) 利用参考圆可将其振动速度表示为 V(r)=-Aasin(axf+) (9) 式中为振动的圆颜率 (10) 在(8)和(9)式中A和印分别是振幅和初相位，由初始条件决定.在物块刚被释 放时，即t=0时刻有x=0,由(5)式得 K0)=-2b (11) 0 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 Y(0)=0 (12) 由(8)至(12)式可求得 A=卫6 (13) p 9=元 (14) 将(10)、(13)利和(14)式分别代人(8)和(9)式得 X0=卫bcos(t+) (15) V()=-, p gbsin(a+) (16) 由(15)式可知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期；但物块的 运动始终由(15)表示是有条件的，那就是在运动过程中物块始终没有完全没没 在湖水中·若物块从某时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力 变成恒力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初始位置所 需的时间也就不再全由振动的周期决定.为此，必须研究物块可能完全浸没 在湖水中的情况，显然，在x系中看，物块下底面坐标为b时，物块刚好被完 全浸没；由(5)式知在X系中这一临界坐标值为 x别 (17) 即物决刚好完全浸没在湖水中对，其下底面在平衡位置以下X。处。注意到在 振动过程中，物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠A,下面分 两种情况讨论： 1.4≤X。:由(13)和(17)两式得 p22p' (18) 在这种悄况下，物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中，因而，物块 从初始位置起，经一个振动周期，再次返回至初始位置，由(10)式得振动周期 Pb (19) 物决从初始位置出发往返一次所需的时间 p'b (20) 1.A>X.由(13)和(17)两式得 p<2p' (21) 在这种情况下，物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下， 设从初始位置起，经过时间1物块刚好全部浸入湖水中，这时X()=X,·由(15) 和(17)式得 gcos(o以，+x=1-g (22) 取合理值，有 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 (23) 由上式和(16)式可求得这时物块的速度为 ra--可 (24) 此后，物块在液体内作匀减速运动，以表示加速度的大小，由牛倾定律有 a'=P-p' (25) 设物块从刚好完全漫入湖水到速度为零时所用的时间为42，有 V(4)-at2=0 (26) 由(24)-(26)得 (27) 物块从初始位置出发往返一次所需的时间为 n=2,+2) g-小”品可 (28) 评分标准： 本题17分.(6)式2分，(10)(15)(16)(17)(18)武各1分，(20)式3分，(21) 式1分，(23)式3分，(27)式2分，(28)式1分. 二、 参考答案： 1. .通过计算卫星在脱离点的动能和万有引力势能可知，卫星的机械能为 负值.由开普勤第一定律可推知，此卫星的运动轨道为椭圆（或圆），地心为 椭圆的一个焦点（或圆的圆心），如图所示，由于卫星在脱离点的速度垂直于地 心和脱离点的连线，因此脱离点必为卫星椭圆轨道的远地点（或近地点）：设 近地点（或远地点）离地心的距 离为r,卫尾在此点的速度为v, 由开普勒第二定律可知 0.80R rT=(0.80R)o (1) 式中0(=2π/T)为地球自转的角速 度.令m表示卫星的质量，根据机 械能守恒定律有 2mm2Gh、 =m(0.80R)02 GMm (2) r G.80R 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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