中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 2008年第25届全国中学生物理竞赛复赛试卷 本卷共八题，满分160分 -、(15分) 1、(5分)蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是0.033s。假设它是由均匀分布的物质构成的球 体，脉冲周期是它的旋转周期，万有引力是唯一能阻止它离心分解的力，已知万有引力常量 G=6.67×10m3.kg1.s2，由于脉冲星表面的物质未分离，故可估算出此脉冲星密度的 下限是」 kgm3。 2、(5分)在国际单位制中，库仑定律写成F=k，式中静电力常量 2 k=8.98×10°N·m2.C-2,电荷量q1和q2的单位都是库仑，距离r的单位是米，作用力F 的单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式F=94，式中距离「的单位是米，作用 力℉的单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式F=949,式中距离r的单位是米， 作用力F的单位是牛顿，由此式可这义一种电荷量q的新单位。当用米、千克、秒表示此 新单位时，电荷新单位= :新单位与库仑的关系为1新单位= C。 3、(5分)电子感应加速器(betatron)的基本原理如下：一个圆环真空 室处于分布在圆柱形体积内的磁场中，磁场方向沿圆柱的轴线，圆柱的 轴线过圆环的圆心并与环面垂直。圆中两个同心的实线圆代表圆环的边 界，与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。己知磁场 的磁感应强度B随时间t的变化规律为B=B。cos(2πt/T),其中T为 磁场变化的周期。B为大于0的常量。当B为正时，磁场的方向垂直 于纸面指向纸外。若持续地将初速度为的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内（如图）， 则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从= 到与 二、(21分)嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点 离地面高Hn=2.05×10km,远地点离地面高H,=5.0930×10kam,周期约为16小时， 称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在 远地点点火，使卫星进入新轨道（如图中曲线2所示），以抬高近地点。后来又连续三次在 抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、48小时 轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线3、4、5所示）。已知卫星质量m=2.350×103kg, 地球半径R=6.378×103km,地面重力加速度g=9.81m/s2,月球半径 r=1.738×103km。 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
2008 年第 25 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 本卷共八题，满分 160 分 一、（15 分） 1、（5 分）蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是 0.033s。假设它是由均匀分布的物质构成的球 体，脉冲周期是它的旋转周期，万有引力是唯一能阻止它离心分解的力，已知万有引力常量 11 3 1 2 G m kg s 6.67 10 ，由于脉冲星表面的物质未分离，故可估算出此脉冲星密度的 下限是 3 kg m 。 2 、（ 5 分 ） 在 国 际 单 位 制 中 ， 库 仑 定 律 写 成 1 2 2 q q F k r ， 式 中 静 电 力 常 量 9 2 2 k N m C 8.98 10 ，电荷量 q1和 q2的单位都是库仑，距离 r 的单位是米，作用力 F 的单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式 1 2 2 q q F r ，式中距离 r 的单位是米，作用 力 F 的单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式 1 2 2 q q F r ，式中距离 r 的单位是米， 作用力 F 的单位是牛顿，由此式可这义一种电荷量 q 的新单位。当用米、千克、秒表示此 新单位时，电荷新单位= ；新单位与库仑的关系为 1 新单位= C。 3、（5 分）电子感应加速器（betatron）的基本原理如下：一个圆环真空 室处于分布在圆柱形体积内的磁场中，磁场方向沿圆柱的轴线，圆柱的 轴线过圆环的圆心并与环面垂直。圆中两个同心的实线圆代表圆环的边 界，与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。已知磁场 的磁感应强度 B 随时间 t 的变化规律为 0 B B t T cos(2 / ) ，其中 T 为 磁场变化的周期。B0为大于 0 的常量。当 B 为正时，磁场的方向垂直 于纸面指向纸外。若持续地将初速度为 v0的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内（如图）， 则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从 t= 到 t= 。 二、（21 分）嫦娥 1 号奔月卫星与长征 3 号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点 离地面高 2 2.05 10 H km n ，远地点离地面高 4 5.0930 10 H km f ，周期约为 16 小时， 称为 16 小时轨道（如图中曲线 1 所示）。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在 远地点点火，使卫星进入新轨道（如图中曲线 2 所示），以抬高近地点。后来又连续三次在 抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入 24 小时轨道、48 小时 轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线 3、4、5 所示）。已知卫星质量 3 m kg 2.350 10 ， 地 球 半 径 3 R km 6.378 10 ， 地 面 重 力 加 速 度 2 g m s 9.81 / ， 月 球 半 径 3 r km 1.738 10 。 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 1、试计算16小时轨道的半长轴a和半短轴b的长度，以及椭圆偏心率e。 2、在16小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点 火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小F=490N,要把近地点抬高到 600km,问点火时间应持续多长？ 3、试根据题给数据计算卫星在16小时轨道的实际运行周期。 4、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度Hm约为200km,周期Tm=127分钟，试据此估 算月球质量与地球质量之比值。 2 三、(22分)足球射到球门横梁上时，因速度方向不同、射在横梁上的位置有别，其落地点 也是不同的。已知球门的横梁为圆柱形，设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到 横梁上，球与横梁间的滑动摩擦系数4=0.70，球与横梁碰撞时的恢复系数©=0.70。试问 足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内（含球门上）？足球射在横梁上的位置 用球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向（垂直于横梁的轴线）的夹角日（小于 90°)来表示。不计空气及重力的影响。 四、(20分)图示为低温工程中常用的一种气体、蒸气压联合温度计的原理示意图，M为指 针压力表，以V表示其中可以容纳气体的容积：B为测温饱，处在待测温度的环境中，以 VB表示其体积：E为贮气容器，以VE表示其体积：F为阀门。M、E、B由体积可忽略的毛 细血管连接。在M、E、B均处在室温To=300K时充以压强P。=5.2×10'Pa的氢气。假设 氢的饱和蒸气仍遵从理想气体状态方程。现考察以下各问题： 1、关闭阀门F,使E与温度计的其他部分隔断，于是M、B构成一简易的气体温度计，用 它可测量25K以上的温度，这时B中的氢气始终处在气态，M处在室温中。试导出B处 的温度T和压力表显示的压强p的关系。除题中给出的室温T时B中氢气的压强Po外，理 论上至少还需要测量几个已知温度下的压强才能定量确定T与p之间的关系？ 2、开启阀门F,使M、E、B连通，构成一用于测量20~25K温度区间的低温的蒸气压温 度计，此时压力表M测出的是液态氢的饱和蒸气压。由于饱和蒸气压与温度有灵敏的依赖 关系，知道了氢的饱和蒸气压与温度的关系，通过测量氢的饱和蒸气压，就可相当准确地确 定这一温区的温度。在设计温度计时，要保证当B处于温度低于T,=25K时，B中一定要 有液态氢存在，而当温度高于T,=25K时，B中无液态氢。到达到这一目的，V+V与 VB间应满足怎样的关系？已知T,=25K时，液态氢的饱和蒸气压p=3.3×10Pa。 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
1、试计算 16 小时轨道的半长轴 a 和半短轴 b 的长度，以及椭圆偏心率 e。 2、在 16 小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点 火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小 F=490N，要把近地点抬高到 600km，问点火时间应持续多长？ 3、试根据题给数据计算卫星在 16 小时轨道的实际运行周期。 4、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度 Hm约为 200km，周期 Tm=127 分钟，试据此估 算月球质量与地球质量之比值。 三、（22 分）足球射到球门横梁上时，因速度方向不同、射在横梁上的位置有别，其落地点 也是不同的。已知球门的横梁为圆柱形，设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到 横梁上，球与横梁间的滑动摩擦系数 0.70 ，球与横梁碰撞时的恢复系数 e=0.70。试问 足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内（含球门上）？足球射在横梁上的位置 用球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向（垂直于横梁的轴线）的夹角 （小于 90 ）来表示。不计空气及重力的影响。 四、（20 分）图示为低温工程中常用的一种气体、蒸气压联合温度计的原理示意图，M 为指 针压力表，以 VM表示其中可以容纳气体的容积；B 为测温饱，处在待测温度的环境中，以 VB表示其体积；E 为贮气容器，以 VE表示其体积；F 为阀门。M、E、B 由体积可忽略的毛 细血管连接。在 M、E、B 均处在室温 T0=300K 时充以压强 5 0 p Pa 5.2 10 的氢气。假设 氢的饱和蒸气仍遵从理想气体状态方程。现考察以下各问题： 1、关闭阀门 F，使 E 与温度计的其他部分隔断，于是 M、B 构成一简易的气体温度计，用 它可测量 25K 以上的温度， 这时 B 中的氢气始终处在气态，M 处在室温中。试导出 B 处 的温度 T 和压力表显示的压强 p 的关系。除题中给出的室温 T0时 B 中氢气的压强 P0外，理 论上至少还需要测量几个已知温度下的压强才能定量确定 T 与 p 之间的关系？ 2、开启阀门 F，使 M、E、B 连通，构成一用于测量 20～25K 温度区间的低温的蒸气压温 度计，此时压力表 M 测出的是液态氢的饱和蒸气压。由于饱和蒸气压与温度有灵敏的依赖 关系，知道了氢的饱和蒸气压与温度的关系，通过测量氢的饱和蒸气压，就可相当准确地确 定这一温区的温度。在设计温度计时，要保证当 B 处于温度低于 25 T K V 时，B 中一定要 有液态氢存在，而当温度高于 25 T K V 时，B 中无液态氢。到达到这一目的，V V M E 与 VB间应满足怎样的关系？已知 25 T K V 时，液态氢的饱和蒸气压 5 3.3 10 Vp Pa 。 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 3、已知室温下压强p,=1.04×10Pa的氢气体积是同质量的液态氢体积的800倍，试论证 蒸气压温度计中的液态气不会溢出测温泡B。 B 五、(20分)一很长、很细的圆柱形的电子束由速度为ⅴ的匀速运动的低速电子组成，电子 在电子束中均匀分布，沿电子束轴线每单位长度包含个电子，每个电子的电荷量为 -e(e>0),质量为m。该电子束从远处沿垂直于平行板电容器极板的方向射向电容器，其 前端（即图中的右端）于0时刻刚好到达电容器的左极板。电容器的两个极板上各开一个 小孔，使电子束可以不受阻碍地穿过电容器。两极板A、B之间加上了如图所示的周期性变 化的电压VB(VB=V4-'g,图中只画出了一个周期的图线)，电压的最大值和最小值分 别为Vo和一Vo,周期为T。若以x表示每个周期中电压处于最大值的时间间隔，则电压处 于最小值的时间间隔为T一T。已知T的值恰好使在VB变化的第一个周期内通过电容器到 达电容器右边的所有的电子，能在某一时刻，形成均匀分布的一段电子束。设电容器两极板 间的距离很小，电子穿过电容器所需要的时间可以忽略，且m2=6V。,不计电子之间的 相互作用及重力 作用。 -F- 1、满足题给条件的π和tb的值分别为T= T,th= T。 2、试在下图中画出=2T那一时刻，在0一2T时间内通过电容器的电子在电容器右侧空间 形成的电流I,随离开右极板距离x的变化图线，并在图上标出图线特征点的纵、横坐标（坐 标的数字保留到小数点后第二位)。取x正向为电流正方向。图中x=0处为电容器的右极板 B的小孔所在的位置，横坐标的单位S= evo 。(本题按画出的图评分，不须给出计算过 程) 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
3、已知室温下压强 5 1 p Pa 1.04 10 的氢气体积是同质量的液态氢体积的 800 倍，试论证 蒸气压温度计中的液态气不会溢出测温泡 B。 五、（20 分）一很长、很细的圆柱形的电子束由速度为 v 的匀速运动的低速电子组成，电子 在电子束中均匀分布，沿电子束轴线每单位长度包含 n 个电子，每个电子的电荷量为 e e( 0)，质量为 m。该电子束从远处沿垂直于平行板电容器极板的方向射向电容器，其 前端（即图中的右端）于 t=0 时刻刚好到达电容器的左极板。电容器的两个极板上各开一个 小孔，使电子束可以不受阻碍地穿过电容器。两极板 A、B 之间加上了如图所示的周期性变 化的电压VAB （V V V AB A B ，图中只画出了一个周期的图线），电压的最大值和最小值分 别为 V0 和－V0，周期为 T。若以 表示每个周期中电压处于最大值的时间间隔，则电压处 于最小值的时间间隔为 T－ 。已知 的值恰好使在 VAB 变化的第一个周期内通过电容器到 达电容器右边的所有的电子，能在某一时刻 tb形成均匀分布的一段电子束。设电容器两极板 间的距离很小，电子穿过电容器所需要的时间可以忽略，且 2 0 mv eV 6 ，不计电子之间的 相互作用及重力 作用。 1、满足题给条件的 和 tb的值分别为 = T，tb= T。 2、试在下图中画出 t=2T 那一时刻，在 0－2T 时间内通过电容器的电子在电容器右侧空间 形成的电流 I，随离开右极板距离 x 的变化图线，并在图上标出图线特征点的纵、横坐标（坐 标的数字保留到小数点后第二位）。取 x 正向为电流正方向。图中 x=0 处为电容器的右极板 B 的小孔所在的位置，横坐标的单位 0 eV s m 。（本题按画出的图评分，不须给出计算过 程） 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 I/nev 0 3 六、(22分)零电阻是超导体的一个基本特征，但在确认这一事实时受到实验测量精确度的 限制。为克服这一困难，最著名的实验是长时间监测浸泡在液态氦（温度T=4.2K)中处于 超导态的用铅丝做成的单匝线圈（超导转换温度T=7.19K)中电流的变化。设铅丝粗细均 匀，初始时通有=100A的电流，电流检测仪器的精度为△1=1.0A,在持续一年的时间 内电流检测仪器没有测量到电流的变化。根据这个实验，试估算对超导态铅的电阻率为零的 结论认定的上限为多大。设铅中参与导电的电子数密度n=8.00×102”m3,已知电子质量 m=9.11×10-31g,基本电荷e=1.60×10-19C。(采用的估算方法必须利用本题所给出的 有关数据) 七、(20分)在地面上方垂直于太阳光的入射方向，放置一半径R=0.10m、焦距=0.50m的 薄凸透镜，在薄透镜下方的焦面上放置一黑色薄圆盘（圆盘中心与透镜焦点重合），于是可 以在黑色圆盘上形成太阳的像。己知黑色圆盘的半径是太阳像的半径的两倍。圆盘的导热性 极好，圆盘与地面之间的距离较大。设太阳向外辐射的能量遵从斯特藩一玻尔兹曼定律：在 单位时间内在其单位表面积上向外辐射的能量为W=σT4，式中σ为斯特藩一玻尔兹曼常 量，T为辐射体表面的的绝对温度。对太而言，取其温度1.=5.50×10C。大气对太阳能 的吸收率为=0.40。又设黑色圆盘对射到其上的太阳能全部吸收，同时圆盘也按斯特藩 一玻尔兹曼定律向外辐射能量。如果不考虑空气的对流，也不考虑杂散光的影响，试问薄圆 盘到达稳定状态时可能达到的最高温度为多少摄氏度？ 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
六、（22 分）零电阻是超导体的一个基本特征，但在确认这一事实时受到实验测量精确度的 限制。为克服这一困难，最著名的实验是长时间监测浸泡在液态氦（温度 T=4.2K）中处于 超导态的用铅丝做成的单匝线圈（超导转换温度 TC=7.19K）中电流的变化。设铅丝粗细均 匀，初始时通有 I=100A 的电流，电流检测仪器的精度为 I mA 1.0 ，在持续一年的时间 内电流检测仪器没有测量到电流的变化。根据这个实验，试估算对超导态铅的电阻率为零的 结论认定的上限为多大。设铅中参与导电的电子数密度 20 3 n m 8.00 10 ，已知电子质量 31 m kg 9.11 10 ，基本电荷 19 e C 1.60 10 。（采用的估算方法必须利用本题所给出的 有关数据） 七、（20 分）在地面上方垂直于太阳光的入射方向，放置一半径 R=0.10m、焦距 f=0.50m 的 薄凸透镜，在薄透镜下方的焦面上放置一黑色薄圆盘（圆盘中心与透镜焦点重合），于是可 以在黑色圆盘上形成太阳的像。已知黑色圆盘的半径是太阳像的半径的两倍。圆盘的导热性 极好，圆盘与地面之间的距离较大。设太阳向外辐射的能量遵从斯特藩—玻尔兹曼定律：在 单位时间内在其单位表面积上向外辐射的能量为 4 W T ，式中 为斯特藩—玻尔兹曼常 量，T 为辐射体表面的的绝对温度。对太而言，取其温度 3 5.50 10 st C 。大气对太阳能 的吸收率为 0.40 。又设黑色圆盘对射到其上的太阳能全部吸收，同时圆盘也按斯特藩 —玻尔兹曼定律向外辐射能量。如果不考虑空气的对流，也不考虑杂散光的影响，试问薄圆 盘到达稳定状态时可能达到的最高温度为多少摄氏度？ 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 八、(20分)质子数与中子数互换的核互为镜像核，例如3H是3H的镜像核，同样3H是 3He的镜像核。己知3H和3He原子的质量分别是m,=3.016050u和mm=3.016029u, 中子和质子质量分别是m,=1008665u和m,=1.007825u,1u=MeV,式中c为 光速，静电力常量k=144 MeV.fim,式中e为电子的电荷量。 1、试计算3H和3He的结合能之差为多少MeV。 2、已知核子间相互作用的“核力”与电荷几乎没有关系，又知质子和中子的半径近似相等， 试说明上面所求的结合能差主要是由什么原因造成的。并由此结合能之差来估计核子半径 INo 3、实验表明，核子可以被近似地看成是半径恒定的球体：核子数A较大的原子核可以近 似地被看成是半径为R的球体。根据这两点，试用一个简单模型找出R与A的关系式：利 用本题第2问所求得的的估计值求出此关系式中的系数：用所求得的关系式计算2Pb核 的半径Rpb。 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
八、（20 分）质子数与中子数互换的核互为镜像核，例如3 He 是3 H 的镜像核，同样3 H 是 3 He 的镜像核。已知3 H 和3 He 原子的质量分别是 3 3.016050 H m u 和 3 3.016029 He m u ， 中子和质子质量分别是 1.008665 m u n 和 1.007825 m u p ， 2 931.5 1u MeV c ，式中 c 为 光速，静电力常量 2 1.44 k MeV fm e ，式中 e 为电子的电荷量。 1、试计算3 H 和3 He 的结合能之差为多少 MeV。 2、已知核子间相互作用的“核力”与电荷几乎没有关系，又知质子和中子的半径近似相等， 试说明上面所求的结合能差主要是由什么原因造成的。并由此结合能之差来估计核子半径 rN。 3、实验表明，核子可以被近似地看成是半径 rN恒定的球体；核子数 A 较大的原子核可以近 似地被看成是半径为 R 的球体。根据这两点，试用一个简单模型找出 R 与 A 的关系式；利 用本题第 2 问所求得的 rN的估计值求出此关系式中的系数；用所求得的关系式计算208 Pb 核 的半径 Rpb 。 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 第25届全国中学生物理竞赛复赛理论试题参考解答 一、答案 1.1.3×1014 2.kg片m为.s1.06×10-(答1.05×105也给分) 3.7 4 二、参考解答： 1.椭圆半长轴α等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度 (皆指卫星到地心的距离)与的算术平均值，即有 a=北.+)=[H+)+(A,+R]-H.+H,)+R (1) 代入数据得 a=3.1946×104km (2) 椭圆半短轴b等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有 b=√ (3) 代入数据得 b=1.942×104km (4) 椭圆的偏心率 Va2-b2 e= (5) a 代入数据即得 e=0.7941 (6) 2.当卫星在16小时轨道上运行时，以V和0，分别表示它在近地点和远地点的速度， 根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有 Im:_GMm=1 mo:-GMm 1. (7) 2 2 式中M是地球质量，G是万有引力常量.因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心 的连线垂直，根据角动量守恒，有 m r=mor (8) 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
第 25 届全国中学生物理竞赛复赛理论试题参考解答 一、答案 1. 14 103.1 2. 1 3 2 2 1 kg m s 5 1.06 10 (答 5 1.05 10 也给分) 3. 3 4 T T 二、参考解答： 1. 椭圆半长轴 a 等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度 （皆指卫星到地心的距离） nr 与 f r 的算术平均值，即有 n f n f n f 1 1 1 2 2 2 a r r H R H R H H R (1) 代入数据得 4 a 3.1946 10 km (2) 椭圆半短轴 b 等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有 n f b r r (3) 代入数据得 4 b 1.942 10 km (4) 椭圆的偏心率 a ba e 22 (5) 代入数据即得 e 0.7941 (6) 2. 当卫星在 16 小时轨道上运行时，以 n v 和 f v 分别表示它在近地点和远地点的速度， 根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有 2 2 n f n f 1 1 2 2 GMm GMm m m r r v v (7) 式中 M 是地球质量，G 是万有引力常量. 因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心 的连线垂直，根据角动量守恒，有 m r m r v v n n f f (8) 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 注意到 GM R2-8 (9) 由(7)、(8)、(9)式可得 0= r 28R (10) Vrr+ 04=n= 28R (11) 当卫星沿16小时轨道运行时，根据题给的数据有 hn=R+H。 =R+H 由(11)式并代入有关数据得 0g=1.198km/s (12) 依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方 向相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星 所在处将是新轨道的远地点.所以新轨道远地点高度H:=H。=5.0930×104km,但新轨道 近地点高度H,=6.00×102km.由(11)式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为 v=1.230km/s (13) 卫星动量的增加量等于卫星所受推力F的冲量，设发动机点火时间为△1，有 m(o-o)=F△1 (14) 由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得 △1=1.5×102s(约2.5分) (15) 这比运行周期小得多， 3.当卫星沿椭圆轨道运行时，以r表示它所在处矢径的大小，)表示其速度的大小，0 表示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小 L=rmu sin0=2mo (16) 其中 1 o=-rosin (17) 2 是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度.由于角动量是守恒的，故σ是恒 量.利用远地点处的角动量，得 1 0=50 (18) 2 又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为 S=nab (19) 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
注意到 g R GM 2 (9) 由(7)、(8)、(9)式可得 f n n f n r g2 R r r r v (10) n n f n f f f n r r g2 R r r r r v v (11) 当卫星沿 16 小时轨道运行时，根据题给的数据有 n n r R H f f r R H 由(11)式并代入有关数据得 f v 1.198 km/s (12) 依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方 向相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星 所在处将是新轨道的远地点.所以新轨道远地点高度 4 f f H H 5.0930 10 km，但新轨道 近地点高度 2 n H 6.00 10 km.由(11)式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为 f v 1.230 km/s (13) 卫星动量的增加量等于卫星所受推力 F 的冲量，设发动机点火时间为t，有 m F t v v f f (14) 由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得 t= 2 1.5 10 s (约 2.5 分) (15) 这比运行周期小得多. 3. 当卫星沿椭圆轨道运行时，以 r 表示它所在处矢径的大小，v 表示其速度的大小， 表示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小 L rm m vsin 2 (16 ) 其中 1 sin 2 rv （17） 是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度.由于角动量是守恒的，故 是恒 量.利用远地点处的角动量，得 f f 1 2 r v (18) 又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为 S ab π (19) 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 所以卫星沿轨道运动的周期 T= (20) 6 由(18)、(19)、(20)式得 T= 2πab (21) U 代入有关数据得 T=5.678×104s(约15小时46分) (22) 注：本小题有多种解法.例如，由开普勒第三定律，绕地球运行的两丁卫星的周期T与T0之比的平方 等于它们的轨道半长轴a与a0之比的立方，即 To 若a,是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，则有 GMm 2π a ma 得 T4π2-4π a GM gR2 从而得 T= 2na a R Vg 代入有关数据便可求得22)式： 4.在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有 2匹月 (23) 这里rm=r+Hm是卫星绕月轨道半径，Mm是月球质量.由(23)式和(9)式，可得 Mn= 4R且M gR'T (24) 代入有关数据得 Mm=0.0124 (25) 色 01 三、参考解答： 0 0: 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
所以卫星沿轨道运动的周期 S T (20) 由(18)、(19)、(20) 式得 f f 2πab T r v (21) 代入有关数据得 4 T 5.678 10 s (约 15 小时 46 分) (22) 注：本小题有多种解法.例如，由开普勒第三定律，绕地球运行的两亇卫星的周期 T 与 T0之比的平方 等于它们的轨道半长轴 a 与 a0之比的立方，即 2 3 0 0 T a T a 若 0 a 是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，则有 2 2 0 0 0 GMm 2π ma a T 得 2 2 2 0 3 2 0 T 4π 4π a GM gR 从而得 2πa a T R g 代入有关数据便可求得(22)式. 4. 在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有 m 2 2 m m m 2π ( ) GM m mr r T (23) 这里 m m r r H 是卫星绕月轨道半径， Mm 是月球质量. 由(23)式和(9)式，可得 2 3 m m 2 2 m 4π r M M gR T (24) 代入有关数据得 m 0.0124 M M (25) 三、参考解答： 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 足球射到球门横梁上的情况如图所示（图所在的平面垂直于横梁轴线）.图中B表示横 梁的横截面，O1为横梁的轴线；O,O为过横梁轴线并垂直于轴线的水平线：A表示足球， O2为其球心：O点为足球与横梁的碰撞点，碰撞点O的位置由直线O1OO2与水平线O,O'的夹 角日表示.设足球射到横梁上时球心速度的大小为，方向垂直于横梁沿水平方向，与横梁 碰撞后球心速度的大小为0，方向用它与水平方向的夹角表示（如图）.以碰撞点O为原点作直 角坐标系Oxy,y轴与O2OO1重合.以am表示碰前速度的方向与y轴的夹角，以a表示碰后速度 的方向与y轴（负方向）的夹角，足球被横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度方向，即角α 的大小 以F表示横梁作用于足球的力在x方向的分量的大小，F,表示横梁作用于足球的力在y 方向的分量的大小，△表示横梁与足球相互作用的时间，表示足球的质量，有 F△1=oos-mWx (1) F△1=oy+mooy (2) 式中？ox、Vo,、⑦，和)，分别是碰前和碰后球心速度在坐标系Oy中的分量的大小.根据摩 擦定律有 F.=uFy (3) 由(1)、(2)、(3)式得 H=-0 (4) Vy+Vov 根据恢复系数的定义有 Uy=evoy (5) 因 tan do=Dox (6) Vov tana= 7 由(4)、(5)、(6)、(7)各式得 (8) 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
足球射到球门横梁上的情况如图所示（图所在的平面垂直于横梁轴线）.图中B表示横 梁的横截面，O1为横梁的轴线；O O1 1 为过横梁轴线并垂直于轴线的水平线；A表示足球， O2为其球心；O点为足球与横梁的碰撞点，碰撞点O的位置由直线O1OO2与水平线O O1 1 的夹 角表示.设足球射到横梁上时球心速度的大小为v0，方向垂直于横梁沿水平方向，与横梁 碰撞后球心速度的大小为v，方向用它与水平方向的夹角表示如图.以碰撞点O为原点作直 角坐标系Oxy，y轴与O2OO1重合.以表示碰前速度的方向与y轴的夹角，以表示碰后速度 的方向与y轴(负方向)的夹角，足球被横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度方向，即角 的大小. 以Fx表示横梁作用于足球的力在x方向的分量的大小，Fy表示横梁作用于足球的力在y 方向的分量的大小，t表示横梁与足球相互作用的时间，m表示足球的质量，有 F t m m x 0x x v v (1) F t m m y y 0y v v (2) 式中 0x v 、 0y v 、 x v 和 y v 分别是碰前和碰后球心速度在坐标系Oxy中的分量的大小.根据摩 擦定律有 F F x y (3) 由（1）、（2）、（3）式得 0x x y 0y v v v v (4) 根据恢复系数的定义有 y 0y v v e （5） 因 0x 0 0y tan v v （6） x y tan v v （7） 由（4）、（5）、（6）、（7）各式得 ee 1 1tan 1 tan 0 （8） 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 由图可知 p=0+a (9) 若足球被球门横梁反弹后落在球门线内，则应有 p≥90° (10) 在临界情况下，若足球被反弹后刚好落在球门线上，这时p=90°.由(9)式得 tan90°-0=tana (11) 因足球是沿水平方向射到横梁上的，故C。=日，有 (12) 这就是足球反弹后落在球门线上时入射点位置B所满足的方程.解(12)式得 (13) 代入有关数据得 tan0=1.6 (14) 即 0=58 (15) 现要求球落在球门线内，故要求 0≥58 (16) 四、参考解答： 1.当阀门F关闭时，设封闭在M和B中的氢气的摩尔数为1，当B处的温度为T时，压力 表显示的压强为P,由理想气体状态方程，可知B和M中氢气的摩尔数分别为 ma pla (1) RT ii plyt (2) RTo 式中R为普适气体恒量.因 nB +nim =n (3) 解(1)、(2)、(3)式得 1n,R1' T V p VaTo (4) 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
由图可知 （9） 若足球被球门横梁反弹后落在球门线内，则应有 90 (10) 在临界情况下，若足球被反弹后刚好落在球门线上，这时 90 .由（9）式得 tan 90 tan (11) 因足球是沿水平方向射到横梁上的，故 0 ，有 ee 1 1tan 1 tan 1 (12) 这就是足球反弹后落在球门线上时入射点位置 所满足的方程.解（12）式得 2 1 1 2 2 1 1 4 tan 2 e e e e e (13) 代入有关数据得 tan 1.6 (14) 即 58 (15) 现要求球落在球门线内，故要求 58 (16) 四、参考解答： 1. 当阀门F关闭时，设封闭在M和B中的氢气的摩尔数为n1，当B处的温度为T 时，压力 表显示的压强为 p，由理想气体状态方程，可知B和M中氢气的摩尔数分别为 RT pV n B B1 (1) 0 M M1 RT pV n (2) 式中R为普适气体恒量.因 1M1B1 nnn (3) 解（1）、（2）、（3）式得 1 M B B 0 1 1 n R V T V p V T (4) 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
