物理奥林匹克竞赛：全国物理奥林匹克竞赛第27届决赛试题（含参考答案）

中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 第27届全国中学生物理竞赛决赛试题 一、(25分)填空题 1.一个粗细均匀的细圆环形橡皮圈，其质量为M,劲度系数为k,无形变时半径为R。 现将它用力抛向空中，忽略重力的影响，设稳定时其形状仍然保持为圆形，且在平动的同 时以角速度。绕通过圆心垂直于圆面的轴线匀速旋转，这时它的半径应为 2.鸽哨的频率是∫。如果鸽子飞行的最大速度是，由于多普勒效应，观察者可能观测到 的频率范围是从 到 。(设声速为V。) 3.如图所示，在一个质量为M、内部横截面积为A的竖直放置的 气缸 绝热气缸中，用活塞封闭了一定量温度度为T,的理想气体。活塞也 是绝热的，活塞质量以及活塞和气缸之间的摩擦力都可忽略不计。 己知大气压强为P。,重力加速度为g,现将活塞缓慢上提，当活塞 活塞 到达气缸开口处时，气缸刚好离开地面。已知理想气体在缓慢变化 的绝热过程中p”保持不变，其中p是气体的压强，V是气体的体 77777777777777777777777 积，y是一常数。根据以上所述，可求得活塞到达气缸开口处时气体的温度为 4.(本题答案保留两位有效数字)在电子显微镜中，电子束取代了光束被用来“照射”被 观测物。要想分辨1.0×10~m(即原子尺度)的结构，则电子的物质波波长不能大于此尺 度。据此推测电子的速度至少需被加速到 。如果要想进一步分辨1.0×10-2m尺度 的结构，则电子的速度至少需被加速到 且为使电子达到这一速度，所需的加速 电压为 。 已知电子的静止质量m=9.1×10-1kg,电子的电量e=-1.6×10-1°C,普朗克 常量h=6.7×10-4Js,光速c=3.0×10ms1。 二、(20分)图示为一利用传输带输送货物的装置，物块（视为质点）自平台经斜面滑到 一以恒定速度v运动的水平长传输带上，再由传输带输送到远处目的地，己知斜面高 h=2.0m,水平边长L=4.0m,传输带宽d=2.0m,传输带的运动速度v=3.0ms。物块 与斜面间的摩擦系数4=0.30。物块自斜面顶端下滑的初速度为零。沿斜面下滑的速度方 向与传输带运动方向垂直。设斜面与传输带接触处为非常小的一段圆弧，使得物块通过斜 面与传输带交界处时其速度的大小不变，重力加速度g=10m/s2。 1.为使物块滑到传输带上后不会从传输边缘脱离，物块与传输带之间的摩擦系数山，至少 为多少？ 2.假设传输带由一带有稳速装置的直流电机驱动，与电机连接的电源的电动势

中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 第 27 届全国中学生物理竞赛决赛试题 一、（25 分）填空题 1．一个粗细均匀的细圆环形橡皮圈，其质量为M ，劲度系数为k ，无形变时半径为 R 。 现将它用力抛向空中，忽略重力的影响，设稳定时其形状仍然保持为圆形，且在平动的同 时以角速度 绕通过圆心垂直于圆面的轴线匀速旋转，这时它的半径应为 。 2．鸽哨的频率是 f 。如果鸽子飞行的最大速度是u ，由于多普勒效应，观察者可能观测到 的频率范围是从 到 。（设声速为V 。） 3．如图所示，在一个质量为M 、内部横截面积为 A 的竖直放置的 绝热气缸中，用活塞封闭了一定量温度度为T0 的理想气体。活塞也 是绝热的，活塞质量以及活塞和气缸之间的摩擦力都可忽略不计。 已知大气压强为 0 p ，重力加速度为 g ，现将活塞缓慢上提，当活塞 到达气缸开口处时，气缸刚好离开地面。已知理想气体在缓慢变化 的绝热过程中 pV 保持不变，其中 p 是气体的压强，V 是气体的体 积， 是一常数。根据以上所述，可求得活塞到达气缸开口处时气体的温度为 。 4．（本题答案保留两位有效数字）在电子显微镜中，电子束取代了光束被用来“照射”被 观测物。要想分辨 10 1.0 10 m   （即原子尺度）的结构，则电子的物质波波长不能大于此尺 度。据此推测电子的速度至少需被加速到 。如果要想进一步分辨 12 1.0 10 m   尺度 的结构，则电子的速度至少需被加速到 ，且为使电子达到这一速度，所需的加速 电压为 。 已知电子的静止质量 31 me 9.1 10 kg    ，电子的电量 19 e 1.6 10 C     ，普朗克 常量 34 h 6.7 10 J s     ，光速 8 1 c 3.0 10 m s    。 二、（20 分）图示为一利用传输带输送货物的装置，物块（视为质点）自平台经斜面滑到 一以恒定速度v 运动的水平长传输带上，再由传输带输送到远处目的地，已知斜面高 h  2.0m ，水平边长 L  4.0 m ，传输带宽d  2.0 m ，传输带的运动速度v  3.0m/s 。物块 与斜面间的摩擦系数 1   0.30 。物块自斜面顶端下滑的初速度为零。沿斜面下滑的速度方 向与传输带运动方向垂直。设斜面与传输带接触处为非常小的一段圆弧，使得物块通过斜 面与传输带交界处时其速度的大小不变，重力加速度 2 g 10m/s 。 1．为使物块滑到传输带上后不会从传输边缘脱离，物块与传输带之间的摩擦系数2 至少 为多少？ 2．假设传输带由一带有稳速装置的直流电机驱动，与电机连接的电源的电动势

E=200V,内阻可忽略：电机的内阻R=102,传输带空载（无输送货物）时工作电流 。=2.0A,求当货物的平均流量（单位时间内输送货物的质量），稳定在7=640k5时， 电机的平均工作电流等于多少？假设除了货物与传输带之间的摩擦损耗和电机的内阻热损 耗外，其它部分的能量损耗与传输带上的货物量无关。 三、(20分)如图，刚性细轻杆（其质量可视为零）可绕通过其中的点O的光滑水平轴在 竖直面内自由转动。两质量分别为2m和m的小球1和2（可视为质点）串在轻杆上，它们 与轻杆之间的静摩擦系数为4=5。开始时轻杆静止在水平位置，小球1和2分别位于 6 紧靠轻杆两端A和B的位置。现让系统自水平位置以零初速下摆，求 1.小球1脱离轻杆时的位置（用小球1脱离杆时杆与水平线的夹角表示）： 2.小球2脱离轻杆时的位置（用小球2脱离杆时杆与水平线的夹角表示）

E  200V ，内阻可忽略；电机的内阻 R   10 ，传输带空载（无输送货物）时工作电流 0 I  2.0A ，求当货物的平均流量（单位时间内输送货物的质量），稳定在 640 kg/s 9   时， 电机的平均工作电流等于多少？假设除了货物与传输带之间的摩擦损耗和电机的内阻热损 耗外，其它部分的能量损耗与传输带上的货物量无关。 三、（20 分）如图，刚性细轻杆（其质量可视为零）可绕通过其中的点O 的光滑水平轴在 竖直面内自由转动。两质量分别为2m 和 m 的小球 1 和 2（可视为质点）串在轻杆上，它们 与轻杆之间的静摩擦系数为 5 3 6   。开始时轻杆静止在水平位置，小球 1 和 2 分别位于 紧靠轻杆两端 A 和 B 的位置。现让系统自水平位置以零初速下摆，求 1．小球 1 脱离轻杆时的位置（用小球 1 脱离杆时杆与水平线的夹角表示）； 2．小球 2 脱离轻杆时的位置（用小球 2 脱离杆时杆与水平线的夹角表示）

四、如图所示，A、B、C为三个质点，A的质量远远大于B、C的质量，B和C的质 量相等。已知A、B之间，A、C之间存在相互吸引力。B、C之间存在相互排斥力，三 个把质点在相互间引力或斥力的作用下运动，如果作用力合适，可以存在一种如下形式的 运动： A、B、C的相对位置固定，它们构成一个平面，三个质点绕着位于这个平面内的某条轴 匀速转动：因为质点A的质量远远大于B、C的质量，可认为该轴过质点A且固定不动： 连线B与转轴的夹角网与连线4C与转轴的夹角网不相等，且0<A<受0<%<受 若AB之间吸引力的大小∫B=kAB,AC之间吸引力的大小为 。=kAC°，其中AB吲、AC分别为A、B与A、C之间的距离， k为比例系数，不计重力的影响。试问α的值在什么范围内，上述运 动才能实现？ 五、(15分)南极冰架崩裂形成一座巨型冰山，随洋流漂近一个城市。有人设计了一个利 用这座冰山来发电的方案，具体过程为：（先将环境中一定量的空气装入体积可变的容 器，在保持压强不变的条件下通过与冰山接触容器内空气温度降至冰山温度：(b)使容器 脱离冰山，保持其体积不变，让容器中的冰空气从环境中吸收热量，使其温度升至环境温 度：(c)在保持容器体积不变的情况下让空气从容器中喷出，带动发电装置发电。如此重 复，直至整座冰山融化。己知环境温度T,=293K,冰山的温度为冰的熔点T=273K,可 利用的冰山的质量m=1.0×10kg,为了估算可能获得的电能，设计者做出的假设和利用 的数据如下： 1.空气可视为理想气体

四、如图所示， A 、 B 、C 为三个质点， A 的质量远远大于 B 、C 的质量， B 和C 的质 量相等。已知 A 、 B 之间， A 、C 之间存在相互吸引力。 B 、C 之间存在相互排斥力，三 个把质点在相互间引力或斥力的作用下运动，如果作用力合适，可以存在一种如下形式的 运动： A、 B 、C 的相对位置固定，它们构成一个平面，三个质点绕着位于这个平面内的某条轴 匀速转动；因为质点 A 的质量远远大于 B 、C 的质量，可认为该轴过质点 A 且固定不动； 连线 AB 与转轴的夹角1 与连线 AC 与转轴的夹角2 不相等，且 1 π 0 2    ， 2 π 0 2    。 若 AB 之间吸引力的大小 a AB f k AB  ， AC 之间吸引力的大小为 a af k AC  ，其中 AB 、 AC 分别为 A 、 B 与 A 、C 之间的距离， k 为比例系数，不计重力的影响。试问a 的值在什么范围内，上述运 动才能实现？ 五、（15 分）南极冰架崩裂形成一座巨型冰山，随洋流漂近一个城市。有人设计了一个利 用这座冰山来发电的方案，具体过程为：a先将环境中一定量的空气装入体积可变的容 器，在保持压强不变的条件下通过与冰山接触容器内空气温度降至冰山温度；b 使容器 脱离冰山，保持其体积不变，让容器中的冰空气从环境中吸收热量，使其温度升至环境温 度；c 在保持容器体积不变的情况下让空气从容器中喷出，带动发电装置发电。如此重 复，直至整座冰山融化。已知环境温度Ta  293K ，冰山的温度为冰的熔点 1 T  273K ，可 利用的冰山的质量 11 m   1.0 10 kg ，为了估算可能获得的电能，设计者做出的假设和利用 的数据如下： 1．空气可视为理想气体

2.冰的熔解热L=3.34×10J/kg:冰融化成温度为工的水之后即不再利用。 3.压强为p、体积为V的空气内能U=2.5pV。 4.容器与环境之间的热传导良好，可以保证喷气过程中容器中空气温度不变。 5.喷气过程可分解为一连串小过程，每次喷出的气体的体积都是，且远小于容器的体 积。在每个小过程中，喷管中的气体在内外压强差的作用下加速，从而获得一定动能 △E,从喷嘴喷出。不考虑喷出气体在加速过程中体积的改变，并认为在喷气过程中容器 内的气体压强仍是均匀的，外压强的大气压。 6.假设可能获得的电能是△E总和的45% 7.当x口1时，n(1+x)≈x。 试根据设计者的假设，计算利用这座冰山可以获得的电能。 六、(15分)如图，两块大金属板A和B沿竖直方向平行放置，相距为d,两板间加有恒 定电压U,一表面涂有金属膜的乒乓球垂吊在两板之间，其质量为m。轻推乒乓球，使之 向其中一金属板运动，乒乓球与该板碰撞后返回，并与另一板碰撞，如此不断反复。假设 乒乓球与两板的碰撞为非弹性碰撞，其恢复系数为，乒乓球与金属板接触的时间极短， 并在这段时间内达到静电平衡。达到静电平衡时，乒乓球所带的电荷量？与两极板间电势 差的关系可表示为4=CU,其中C。为一常量。同时假设乒乓球半径远小于两金属板间距 d,乒乓球上的电荷不影响金属板上的电荷分布：连接乒乓球的绳子足够长，乒乓球的运 动可近似为沿水平方向的直线运动：乒乓球第一次与金属板碰撞时的初动能可忽略，空气 阻力可忽略。试求：

2．冰的熔解热 5 L   3.34 10 J/ kg ；冰融化成温度为T1 的水之后即不再利用。 3．压强为 p 、体积为V 的空气内能U pV  2.5 。 4．容器与环境之间的热传导良好，可以保证喷气过程中容器中空气温度不变。 5．喷气过程可分解为一连串小过程，每次喷出的气体的体积都是u ，且u 远小于容器的体 积。在每个小过程中，喷管中的气体在内外压强差的作用下加速，从而获得一定动能 E ，从喷嘴喷出。不考虑喷出气体在加速过程中体积的改变，并认为在喷气过程中容器 内的气体压强仍是均匀的，外压强的大气压。 6．假设可能获得的电能是E 总和的45% 7．当 x ￾ 1时，ln 1  x x ≈ 。 试根据设计者的假设，计算利用这座冰山可以获得的电能。 六、（15 分）如图，两块大金属板 A 和 B 沿竖直方向平行放置，相距为d ，两板间加有恒 定电压U ，一表面涂有金属膜的乒乓球垂吊在两板之间，其质量为m 。轻推乒乓球，使之 向其中一金属板运动，乒乓球与该板碰撞后返回，并与另一板碰撞，如此不断反复。假设 乒乓球与两板的碰撞为非弹性碰撞，其恢复系数为e ，乒乓球与金属板接触的时间极短， 并在这段时间内达到静电平衡。达到静电平衡时，乒乓球所带的电荷量q 与两极板间电势 差的关系可表示为 q C U  0 ，其中C0 为一常量。同时假设乒乓球半径远小于两金属板间距 d ，乒乓球上的电荷不影响金属板上的电荷分布；连接乒乓球的绳子足够长，乒乓球的运 动可近似为沿水平方向的直线运动；乒乓球第一次与金属板碰撞时的初动能可忽略，空气 阻力可忽略。试求：

1.乒乓球运动过程中可能获得的最大动能： 2.经过足够长时间后，通过外电路的平均电流。 O d U 七、(20分)如图()所示，十二根均匀的导线杆联成一边长为1的刚性正方体，每根导线 杆的电阻均为R。该正方体在匀强磁场中绕通过其中心且与abcd面垂直的转动轴作匀速转 动，角速度为。，已知磁感应强度大小为B,方向与转动轴垂直。忽略电路的自感。当正 方体转动到如图(b)所示位置（对角线bd与磁场方向夹角为日）时，求 1.通过导线ba、ad、bc和cd的电流强度。 2.为维持正方体作匀速转动所需的外力矩。 0 a d 8)b (a) (b)

1．乒乓球运动过程中可能获得的最大动能； 2．经过足够长时间后，通过外电路的平均电流。 七、（20 分）如图a 所示，十二根均匀的导线杆联成一边长为l 的刚性正方体，每根导线 杆的电阻均为 R 。该正方体在匀强磁场中绕通过其中心且与abcd 面垂直的转动轴作匀速转 动，角速度为 ，已知磁感应强度大小为 B ，方向与转动轴垂直。忽略电路的自感。当正 方体转动到如图b 所示位置（对角线bd 与磁场方向夹角为 ）时，求 1．通过导线ba 、ad 、bc 和cd 的电流强度。 2．为维持正方体作匀速转动所需的外力矩

八、(10分)空心激光束是一种在传播方向上中心光强为零的圆筒形光束。由于这一特 征，它可以把某些微小粒子约束在激光束的中心部位，作为激光导管，激光镊子、光学扳 手等，实现对纳米粒子、生物细胞等微小粒子的精确操控。空心激光技术目前在生物学、 激光加工、原子冷却等方面得到了广泛的应用，正逐渐成为一门新兴的学科分支。 产生空心激光束的基本做法是利用光学系统将一束实心的圆柱形激光转换成为一束空心的 激光。给定如下光学器件：焦距为∫的凸透镜，圆锥角为45°的锥面反射镜，半径为R的 球面镜（中间有圆孔），如图： 利用上述光学器件设计一光学系统，使得一束很细的实心圆柱入射激光转化成一束空心的 出射激光，且空腔为圆柱形，半径为r。请回答如下问题： 1.画出该光学系统的光路图。 2.求该光学系统中锥面镜顶点到球面镜球心的距离x。 (a (b) (c)

八、（10 分）空心激光束是一种在传播方向上中心光强为零的圆筒形光束。由于这一特 征，它可以把某些微小粒子约束在激光束的中心部位，作为激光导管，激光镊子、光学扳 手等，实现对纳米粒子、生物细胞等微小粒子的精确操控。空心激光技术目前在生物学、 激光加工、原子冷却等方面得到了广泛的应用，正逐渐成为一门新兴的学科分支。 产生空心激光束的基本做法是利用光学系统将一束实心的圆柱形激光转换成为一束空心的 激光。给定如下光学器件：焦距为 f 的凸透镜，圆锥角为 45的锥面反射镜，半径为 R 的 球面镜（中间有圆孔），如图： 利用上述光学器件设计一光学系统，使得一束很细的实心圆柱入射激光转化成一束空心的 出射激光，且空腔为圆柱形，半径为r 。请回答如下问题： 1．画出该光学系统的光路图。 2．求该光学系统中锥面镜顶点到球面镜球心的距离 x

第27届全国中学生物理竞赛决赛试题答案 一、(25分)填空题 4π2kR 1. (6分) 4π2k-Mo2 3.1- (6分) 4.7.3×10ms,2.8×103ms,8.4×103V(9分) h p2元 E=p'c2+m2y Ex=eV=E-m.c2 二、(20分) 1.令m表示物块的质量，物块在斜面上滑动的加速度 a=mgsin-Hmg cos0 =g(sin-u cos), (1) 物块滑到斜面底端的速度 2ah vo=sine =V2gh(1-4cot6)=4.0m/s (2) 以传输带为参照系，物块滑到传输带的初速度大小 6=V8+产2=5.0ms。 (3) 运动方向与传输带边缘的夹角α满足 (4) 物块在传输带上作减速运动，其加速大小为 d=m8=4,g。 (5) m 当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离 =监.8 (6) -2a248 物块不超过传输带的边缘对应的最小摩擦系数山，应满足

第 27 届全国中学生物理竞赛决赛试题答案 一、（25 分）填空题 1． 2 2 2 4π 4π kR k M  （6 分） 2． fV V u  ， fV V u  （4 分） 3． 1 1 0 0 1 Mg T p A          （6 分） 4． 6 1 7.3 10 m s   ， 8 1 2.8 10 m s   ， 5 8.4 10 V  （9 分） h p   2 2 2 E p c m y   e 2 E eV E m c k e    二、（20 分） 1．令m 表示物块的质量，物块在斜面上滑动的加速度   1 1 sin cos sin cos mg mg a g m           ， （1） 物块滑到斜面底端的速度 0 1   2 2 1 cot 4.0m/s sin ah v gh        （2） 以传输带为参照系，物块滑到传输带的初速度大小 2 2 v v V 0 0     5.0m/s 。 （3） 运动方向与传输带边缘的夹角 满足 4 tan 3   。 （4） 物块在传输带上作减速运动，其加速大小为 2 2 mg a g m      。 （5） 当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离 2 2 0 0 1 2 2 v v s a g       ， （6） 物块不超过传输带的边缘对应的最小摩擦系数2 应满足

s'sinasina=d (7) 248 因此可得 sina =0.5。 (8) 2gd 2.物块对传输带的摩擦力大小 F=h,6=m, (9) 428 方向与的方向相同。从地面参照系来看，传送带速度为V,单位时间内物块对传输带所 做的功 W=-FV cosa, (10) 因此负载所引起的附加功率 △P=-W=7l/2=640W。 (11) 考虑到无负载时电机的输出功率 B=1E-I6R=360W。 (12) 有负载时电机的输出功率为 P=P+△P=1000W。 (13) 设有负载时的工作电流为I,则 P=IE-12R, (14) 解之得 1=10A。 (15) 评分标准：(2)式2分，(3)、(4)式共2分，(6)式2分，(7)式3分，(8)式1分， (9)式4分，(10)式2分，(13)式2分，(15)式2分。 三、(20分) 设轻杆的杆长为2，当杆与水平线的夹角为0时，球1和球2的速度分别为y和y2,杆转 动的角速度为。。因机械能守恒，有 0=mglsine-2mglsine+(2m)vi+mv2 (1) 2 又因 =2=10, (2) 可由(1)、(2)解得 0= 2g sin0 (3) 3

2 0 2 sin sin 2 v s d g        （7） 因此可得 2 0 2 sin 0.5 2 v gd      。 （8） 2．物块对传输带的摩擦力大小 2 0 0 2 g F v v g         ， （9） 方向与 0 v 的方向相同。从地面参照系来看，传送带速度为V ，单位时间内物块对传输带所 做的功 W FV   cos ， （10） 因此负载所引起的附加功率 2      P W V 640W 。 （11） 考虑到无负载时电机的输出功率 2 P I E I R 0 0 0    360W 。 （12） 有负载时电机的输出功率为 0 P P P    1000W 。 （13） 设有负载时的工作电流为 I ，则 2 P IE I R   ， （14） 解之得 I  10A 。 （15） 评分标准：（2）式 2 分，（3）、（4）式共 2 分，（6）式 2 分，（7）式 3 分，（8）式 1 分， （9）式 4 分，（10）式 2 分，（13）式 2 分，（15）式 2 分。 三、（20 分） 设轻杆的杆长为2l ，当杆与水平线的夹角为 时，球 1 和球 2 的速度分别为 1 v 和 2 v ，杆转 动的角速度为 。因机械能守恒，有   2 2 1 2 1 1 0 sin 2 sin 2 2 2     mgl mgl m v mv   。 （1） 又因 1 2 v v l    ， （2） 可由（1）、（2）解得 2 sin 3 g l    （3）

轻杆与两小球构成的系统对转轴的角动量 L=2mly +mlv2, (4) 由角动量定律有 2mgl cos0-mglcos=AL (5) 根据角加速度B的定义 B=A0 (6) 由(2)、(4)、(5)、(6)各式得 B=&COs0 (7) 31 当两球都未脱离轻杆时，两球都绕转轴作圆周运动，球1的切向 加速度和法向加速度分别为 2 a =IB (8) an=lo (9) 以N,表示沿垂直于轻杆方向球1与杆的相互作用力的大小，以∫表示沿着轻杆方向球1与 杆的相互作用力的大小，根据牛顿第二定律，有 2mg cos0-N =2ma, (10) 厂-2 mg sin0=2man (11) 由(3)、(9)、(10)、(11)各式得 mgco0. (12) 10 f=3 mgsin8。 (13) 对2球作同样的分析，沿垂直于轻杆方向球2与杆的相互作用力的大小N,与沿着轻杆方向 球2与杆的相互作用力的大小分别为 N:=mg cos0. (14) 方=3 mgsin8。 (15) 由(12)、(14)式可知，杆与小球1、杆与小球2的最大静摩擦力相等，而(13)、(14) 式表明小球1与杆的摩擦力大于小球2与杆的摩擦力，故在转动过程中，小球1与杆之间 的摩擦力先达到最大静摩擦力，故小球1先滑动。设1球开始滑动时，细杆与水平线夹角

轻杆与两小球构成的系统对转轴的角动量 1 2 L mlv mlv   2 ， （4） 由角动量定律有 2 cos cos L mgl mgl t       。 （5） 根据角加速度  的定义 t      ， （6） 由（2）、（4）、（5）、（6）各式得 cos 3 g l    。 （7） 当两球都未脱离轻杆时，两球都绕转轴作圆周运动，球 1 的切向 加速度和法向加速度分别为 lt a l   （8） lt a l   （9） 以 N1 表示沿垂直于轻杆方向球 1 与杆的相互作用力的大小，以 1f 表示沿着轻杆方向球 1 与 杆的相互作用力的大小，根据牛顿第二定律，有 1 2 cos 2 mg N malt    ， （10） 1 2 sin 2 lt f mg ma    （11） 由（3）、（9）、（10）、（11）各式得 1 4 cos 3 N mg   。 （12） 1 10 sin 3 f mg   。 （13） 对 2 球作同样的分析，沿垂直于轻杆方向球 2 与杆的相互作用力的大小 N2 与沿着轻杆方向 球 2 与杆的相互作用力的大小 2f 分别为 2 4 cos 3 N mg   ， （14） 2 1 sin 3 f mg   。 （15） 由（12）、（14）式可知，杆与小球 1、杆与小球 2 的最大静摩擦力相等，而（13）、（14） 式表明小球 1 与杆的摩擦力大于小球 2 与杆的摩擦力，故在转动过程中，小球 1 与杆之间 的摩擦力先达到最大静摩擦力，故小球 1 先滑动。设 1 球开始滑动时，细杆与水平线夹角

为8，则f(8)=uN(8), 10mgsinmg coso. 3 (16) 由(16)式并代入数据得 4=2 (17) 当0=0时，球1开始向外滑动。由于球1的初始位置紧靠轻杆末端，球1从开始滑动到 脱离细杆的时间可忽略不计，因此球1脱离细杆与水平线夹角也为日=工。 6 球1一旦脱离轻杆，因轻杆没有质量，球2与轻杆间的相互作用立即消失，此后球2只受 重力作用而作斜舞女运动，注意到(2)、(3)、(7)各式，抛出时的初速度 2gsine 3gl (18) 31 V 3 初速度的方向与水平线的夹角 (19) 在球2作抛体运动的过程中，球与轻杆间虽无相互作用，但球仍套在杆上，轻杆将跟着球 运动，但不会干扰小球的运动。当球离转轴的距离再次等于1时，球2便脱离轻杆。建立 如图所示的坐标系Oxy,根据斜抛运动规律可得任意1时刻（取球2开始作抛体运动的时 刻为计时起点)球2的位置坐标 x=-Icose +vo coseot (20) 1 y=1sin8+sin68y1-282, (21) 球2脱离细杆时有 12=x2+y2。 (22) 利用(17)、(18)、(19)各式得 r-2}o (23) 从而解得 (24) 此时

为 1  ，则 f N 1 1 1 1        ， 即 1 1 10 3 sin cos 3 4 mg mg     ， （16） 由（16）式并代入数据得 1 π 6   。 （17） 当 1    时，球 1 开始向外滑动。由于球 1 的初始位置紧靠轻杆末端，球 1 从开始滑动到 脱离细杆的时间可忽略不计，因此球 1 脱离细杆与水平线夹角也为 1 π 6   。 球 1 一旦脱离轻杆，因轻杆没有质量，球 2 与轻杆间的相互作用立即消失，此后球 2 只受 重力作用而作斜舞女运动，注意到（2）、（3）、（7）各式，抛出时的初速度 1 0 2 sin 3 3 3 g gl v l l    。 （18） 初速度的方向与水平线的夹角 0 1 π π 2 3      。 （19） 在球 2 作抛体运动的过程中，球与轻杆间虽无相互作用，但球仍套在杆上，轻杆将跟着球 运动，但不会干扰小球的运动。当球离转轴的距离再次等于l 时，球 2 便脱离轻杆。建立 如图所示的坐标系Oxy ，根据斜抛运动规律可得任意t 时刻（取球 2 开始作抛体运动的时 刻为计时起点）球 2 的位置坐标 1 0 0 x l v t    cos cos   ， （20） 2 1 0 0 1 sin sin 2 y l v t gt      ， （21） 球 2 脱离细杆时有 2 2 2 l x y   。 （22） 利用（17）、（18）、（19）各式得 2 2 2 2 0 3 l l t t t g g          ， （23） 从而解得 15 1 3 l t g         。 （24） 此时