中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 2006年第23届全国中学生物理竞费预赛试卷 三、(20分，第1小题12分，第2小题8分) 1、如图所示，电荷量为q的正点电荷固定在坐标原点O处，电荷量为q中的正点电荷固定在x轴上 两电荷相距1.己知4=2q. ()求在x轴上场强为零的P点的坐标， 0 总分200分考试时间180分钟 ()若记一电荷量为q和的点电荷放在P点，试讨论它的稳足性（只考虑0被限制在沿x釉运动 和被限制在沿垂直于X轴方向运动这两种情况). 一、(20分，每小题10分) 2、有一静电场，其电势U 1,如图所示，弹簧S:的上端固定在天花板上，下端连一小球A,球A与球B之间 随坐标x的改变而变化，变 用线相连.球B与球C之间用弹簧S相连.A。B、C的质量分别为m、me、, 化的图线如图1所示。试在 弹簧与线的质量均可不计，.开始时它们都处在静止状态。现将A、B间的线突然剪 图2中画出该静电场的场强 断，求线别剪断时A,B、C的加速度. E随x变化的图线（设场强 沿x轴正方向时取正值，场 强沿X轴负方向时取负值) 2、两个相同的条形磁铁，故在平板AB上，磁铁的N、S极 如图所示，开始时平板及磁铁皆处于水平位置，且静止不动， ()现将AB突然竖直向下平移（磁铁与平板间始终相互 接触)，并使之停在A'B'处，结果发现两个条形磁铁碰在 一起. ()如果将AB从原位置突然竖直向上平移，并使之停在AB”位置处，结果发现两条形磁铁 也碰在一起. 试定性地解释上述现象。 四、(20分)一根长为L(以厘米为单位)的粗细均匀的、可弯曲的细管，一端封 二，(20分，每1小题12分，第2小题8分) 闭，一端开口，处在大气中。大气的压强与H厘米高的水银柱产生的压强相等，己 1,老爷爷的跟晴是老花跟。 知管长L>H.现把细管弯成L形，如图所示。假定细管被弯曲时，管长和管的内锰 ()一物体P放在明视距离处，老爷爷看不清楚。试在示意图1上 都不发生变化，可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气体淮出。当细首 中画出此时P通过跟睛成像的光路示意图. 弯成L形时，以I表示其竖直段的长度，问I取值满足什么条件时，注入细管的水银量为最大值？ (ⅱ)戴了一酬300度的老花镜后，老爷爷就能看清楚放在明视 给出你的论证并求出水银量的最大值（用水银柱的长度表示）。 距离处的物体P。试在示意图2中画出P通过老花镜和联睛成像的，上 光路示意图。 (击)300度的老花镜的焦距= 2、有两个凸透镜，它们的焦距分别为和，还有两个凹透镜，它们的焦距分别为6和.己知 >>中.如果要从这四个透镜中达取两个透镜，组成一架最简单的单简望远镜，要求能看到故 大倍数尽可能大的正立的像，则应选焦距为 的透镜作为物镜，应选焦距为 的 透镜作为目镜。 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
2006 年第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 总分 200 分 考试时间 180 分钟 一、（20 分，每小题 10 分） 1、如图所示，弹簧 S1的上端固定在天花板上，下端连一小球 A，球 A 与球 B 之间 用线相连。球 B 与球 C 之间用弹簧 S2相连。A、B、C 的质量分别为 mA、mB、mC， 弹簧与线的质量均可不计。开始时它们都处在静止状态。现将 A、B 间的线突然剪 断，求线刚剪断时 A、B、C 的加速度。 2、两个相同的条形磁铁，放在平板 AB 上，磁铁的 N、S 极 如图所示。开始时平板及磁铁皆处于水平位置，且静止不动。 （i）现将 AB 突然竖直向下平移（磁铁与平板间始终相互 接触），并使之停在 A′B′处，结果发现两个条形磁铁碰在 一起。 （ii）如果将 AB 从原位置突然竖直向上平移，并使之停在 A″B″位置处，结果发现两条形磁铁 也碰在一起。 试定性地解释上述现象。 二、（20 分，每 1 小题 12 分，第 2 小题 8 分） 1、老爷爷的眼睛是老花眼。 （i）一物体 P 放在明视距离处，老爷爷看不清楚。试在示意图 1 中画出此时 P 通过眼睛成像的光路示意图。 （ii）戴了一副 300 度的老花镜后，老爷爷就能看清楚放在明视 距离处的物体 P，试在示意图 2 中画出 P 通过老花镜和眼睛成像的 光路示意图。 （iii）300 度的老花镜的焦距 f= m。 2、有两个凸透镜，它们的焦距分别为 f1和 f2，还有两个凹透镜，它们的焦距分别为 f3和 f4。已知， f1>f2>|f3|>|f4|。如果要从这四个透镜中选取两个透镜，组成一架最简单的单筒望远镜，要求能看到放 大倍数尽可能大的正立的像，则应选焦距为 的透镜作为物镜，应选焦距为 的 透镜作为目镜。 三、（20 分，第 1 小题 12 分，第 2 小题 8 分） 1、如图所示，电荷量为 q1的正点电荷固定在坐标原点 O 处，电荷量为 q2的正点电荷固定在 x 轴上， 两电荷相距 l。已知 q2=2q1。 （i）求在 x 轴上场强为零的 P 点的坐标。 （ii）若把一电荷量为 q0的点电荷放在 P 点，试讨论它的稳定性（只考虑 q0被限制在沿 x 轴运动 和被限制在沿垂直于 x 轴方向运动这两种情况）。 2、有一静电场，其电势 U 随坐标 x 的改变而变化，变 化的图线如图 1 所示。试在 图 2 中画出该静电场的场强 E 随 x 变化的图线（设场强 沿 x 轴正方向时取正值，场 强沿 x 轴负方向时取负值）。 四、（20 分）一根长为 L（以厘米为单位）的粗细均匀的、可弯曲的细管，一端封 闭，一端开口，处在大气中。大气的压强与 H 厘米高的水银柱产生的压强相等，已 知管长 L>H。现把细管弯成 L 形，如图所示。假定细管被弯曲时，管长和管的内径 都不发生变化。可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气体泄出。当细管 弯成 L 形时，以 l 表示其竖直段的长度，问 l 取值满足什么条件时，注入细管的水银量为最大值？ 给出你的论证并求出水银量的最大值（用水银柱的长度表示）。 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 五、(20分)一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子。电子偶素中的正电 子与负电子都以速率￥绕它们连线的中点做圆周运动。假定或尔关于氢原子的理论可用于电子偶素， 电子的质量m、速率，和正、负电子间的距离：的乘积也满足量子化条件.即m印 h ,式中n称为 量子数，可取整数值12,3，：为普阴克常量.试求电子偶素处在各定态时的r和能量以及第一激 发态与基态能量之差. 七，(25分)图示为一固定不动的绝缘的圆简形容器的横截面，其半径为R,圆简的轴线在0处. 圆筒内有匀强磁场，破场方向与网简的轴线平行，磁感应强度为B。简壁的H处开有小孔，整个装 置处在真空中。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子P以某一初速度沿简的半径方向从小孔射 入圆简，经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆简。设：简壁是光滑的，P与简壁碰 撞是弹性的，P与筒壁碰撞时其电荷量是不变的。若要使P与简壁碰撞的次数 最少，问： 1、P的速率应为多少？2、P从进入圆简到射出圆筒经历的时间为多少？ 六、(25分)如图所示，两个金属轮A、A:,可绕通过各自中心并与轮 面垂直的国定的光滑金属细轴O1和O:转动，01和02相互平行，水平 放置.每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成，A,轮的辐条长为1、 电阻为R,A:轮的辐条长为，电阻为R:,连接辐条的金属环的宽度 与电阻都可以忽略。半径为的绝缘圆盘D与A:同轴且固连在一起。 一轻细绳的一端固定在D边缘上的某点，绳在D上绕足够匪数后，悬 挂一质量为m的重物P。当P下落时，通过细绳带动D和A:绕O,轴转K自 动。转动过程中，A:、A:保持接触，无相对滑动：两轮与各自细轴之间保持良好的电接触：两细轴 通过导线与一阻值为R的电阻相连，除R和A1、A:两轮中辐条的电阻外，所有金属的电阻都不计， 整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与转轴平行。现将P释放，试求P匀速下落 时的速度， 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
五、（20 分）一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子。电子偶素中的正电 子与负电子都以速率 v 绕它们连线的中点做圆周运动。假定玻尔关于氢原子的理论可用于电子偶素， 电子的质量 m、速率 v 和正、负电子间的距离 r 的乘积也满足量子化条件，即 mrv=n 2 h 式中 n 称为 量子数，可取整数值 1,2,3,…；h 为普朗克常量。试求电子偶素处在各定态时的 r 和能量以及第一激 发态与基态能量之差。 六、（25 分）如图所示，两个金属轮 A1、A2，可绕通过各自中心并与轮 面垂直的固定的光滑金属细轴 O1和 O2转动，O1和 O2相互平行，水平 放置。每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成，A1 轮的辐条长为 a1、 电阻为 R1，A2轮的辐条长为 a2、电阻为 R2，连接辐条的金属环的宽度 与电阻都可以忽略。半径为 a0的绝缘圆盘 D 与 A1同轴且固连在一起。 一轻细绳的一端固定在 D 边缘上的某点，绳在 D 上绕足够匝数后，悬 挂一质量为 m 的重物 P。当 P 下落时，通过细绳带动 D 和 A1绕 O1轴转 动。转动过程中，A1、A2保持接触，无相对滑动；两轮与各自细轴之间保持良好的电接触；两细轴 通过导线与一阻值为 R 的电阻相连。除 R 和 A1、A2 两轮中辐条的电阻外，所有金属的电阻都不计。 整个装置处在磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向与转轴平行。现将 P 释放，试求 P 匀速下落 时的速度。 七、（25 分）图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面，其半径为 R，圆筒的轴线在 O 处。 圆筒内有匀强磁场，磁场方向与圆筒的轴线平行，磁感应强度为 B。筒壁的 H 处开有小孔，整个装 置处在真空中。现有一质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子 P 以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射 入圆筒，经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。设：筒壁是光滑的，P 与筒壁碰 撞是弹性的，P 与筒壁碰撞时其电荷量是不变的。若要使 P 与筒壁碰撞的次数 最少，问： 1、P 的速率应为多少？ 2、P 从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少？ 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 八、(25分)图中正方形ABCD是水平故置的固定梁的横截面，AB是水平的，截面的边长都是1， 九、(25分)从赤道上的C点发射际导弹，使之精确地击中北极点N,要求发 一根长为2！的柔软的轻细绳，一端固定在A点，另一端系一质量为m的小球，初始时，手持小球 射所用的能量最少。.假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球体，R=6400km 将绳拉直，绕过B点使小球处于C点。现给小球一竖直向下的初速度，使小球与CB边无接触地 己知质量为m的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量E与网半长轴ǎ 向下运动，当分别取下列两值时，小球将打到梁上的何处？ 的关系为E=一G式中M为地球质量，G为引力常量. 2a 1、后=265+3W5-1)g2、后=2(35+11gl 1、假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用速度方向与从地心0到发射点C的 设绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的。 连线之间的夹角表示)， 2、若考感地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？3、试导出E=一G恤 0 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
八、（25 分）图中正方形 ABCD 是水平放置的固定梁的横截面，AB 是水平的，截面的边长都是 l。 一根长为 2l 的柔软的轻细绳，一端固定在 A 点，另一端系一质量为 m 的小球，初始时，手持小球， 将绳拉直，绕过 B 点使小球处于 C 点。现给小球一竖直向下的初速度 v0，使小球与 CB 边无接触地 向下运动，当 v0 2分别取下列两值时，小球将打到梁上的何处？ 1、 )13326(2 glv 2 0 2、 )1133(2 glv 2 0 设绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的。 九、（25 分）从赤道上的 C 点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点 N，要求发 射所用的能量最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体，R=6400km。 已知质量为 m 的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系为 E=－G a Mm 2 式中 M 为地球质量，G 为引力常量。 1、假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用速度方向与从地心 O 到发射点 C 的 连线之间的夹角表示）。 2、若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？ 3、试导出 E=－G a Mm 2 。 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 06年第23届全国中学生物理竞養预妻参考答案及评分标准 处，9、的场强的大小分别为E”=k >E。方向沿x轴正方向E” (x。-△x ·、参考解答： 1.线剪断前，整个系统处于平衡状态。此时弹簧S,的弹力F=m+m+c烂(1) 92 弹簧S2的弹力F=cg 2=k E方向沿x轴负方向 在线刚被剪断的时刻，各球尚米发生位移，弹簧的长度尚无变化，故F、F:的大小尚未变化，但线 I-x。+△r 的拉力游失。设此时A、B、C的加速度的大小分别为a,as、 由于E”E” 一△x处合场强的方向沿x轴的正方向，即指向P点 则有F-mAg=maA(3)F2+mg=naB(4)F2一mcg=ac(5) 由以上的讨论可知，在X轴上，在P点的两侧，点电荷4和史产生的电场的合场强的方向都指 向P点，带正电的点电荷在P点附近受到的电场力都指向P点，所以当>O时，P点是q的稳定平 解以上有关各式得a=+二g,方向竖直向响上(6：加-m+二g,方向竖直向下：=0(8) 衡位置。带负电的点电荷在P点附近受到的电场力都背离P点，所以当0， 40×10 的运动，直线停在A’B’处，在这过程中，磁铁对板的正压力增大，最大静摩擦力亦增大，因两 P点是电的稳定平衡位置，古3分：正确论证0，P 铁己碰在一起，碰力、接触处出现的弹力和可能存在的静摩擦力总是平衡的，两条磁铁吸在一起的 点是q的不稳定平衡位置，占3分，（未列公式，定性2×0 状态不再改变， 分析正确的同样给分) ()从板突然竖直向下平移到停下，板和破铁的运动也经历了两个阶段.起初，板和磁铁 当电被限制在垂直于x轴方向运动时，正确论 证4>0，P点是4的不稳定平衡位置，占2分：正确论 2 作加速度方向向上、速度向上的运动。在这过程中，正压力增大，最大静摩擦力亦增大，作用于每 个磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡，磁铁在水平方向不发生运动，接着，磁铁和板一起作加速 度方向向下、速度向上的运动，直线停在A”B”处.在这过程中，蓝铁对板的正压力减小，最大静 90,P点是盟的定平衡位置，.占 8分纵坐标的数值或图纸有的 给0分.纵坐标 摩擦力亦减小，向下的加速度愈大，磁铁的正压力息小，最大静摩擦力也息小。当板的加速度大到 的数值、图线与参考解答不同，正确的同样给分， -40%10 一数值时，最大静摩擦力碱小到小于磁力，干是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起， 四、参考解答： 评分标准：（本题20分） 开始时竖直细管内空气柱长度为L,压强为H(以cHg为单位)，注入少量水银后，气柱将因 1,10分，(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)(7)、(8)式各1分，aA、g的方向各1分. 水银柱压力面缩短。当管中水银柱长度为x时，管内空气压强p问H+x),根据玻意耳定律，此时空 2、10分，()5分，()5分，（必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由，才给这5分，否则 不给分】 HL 气柱长度L'= (1) 空气柱上表面与管口的距离=L一L'= -x(2) 二，参考答案 H+x H+ 开始时x很小，由于L>H,故 d H+x 1.(i) (i) 2、f, 即水银柱上表面低于管口，可锥续注入水银，直至与（即水银柱上表面与管口相平）时为止，何 2、8分.两个空格都填 时水银柱表面与管口相平，可分下面两种情况讨论 评分标准：（本题20分）1、12分，(i)4分，(i)4分，（而）4分. 对，才给这8分，香则0分 1、水银柱表面与管口相平时，水银柱未进入水平管，此时水银柱的长度x念 三、参考答案 由玻意耳定律有H+xL一x尸=HL(3) 由(3)式可得=一H(4) 由此可知，当≥L一H时，注入的水银柱的长度x的最大值x=L一H(S) 2、水银柱表面与管口相平时，一廊分水银进入水平管，此时注入水银柱的长度心，由玻意耳定律 1- L L 有+0L一x=HL(6) H+1 7) (8) ()通过对点电荷场强方向的分析，场强为零的P点只可能位于两点电荷之间。设P点的坐标 为，则有k马=片 L (1)己知9=2q:(2) 由(8)式得L一H或L>H+H(9)=且一H E'1,X=+△x处合场强沿x轴的负方向，即指向P点.在x轴上P点左侧x=一△x 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
06 年第 23 届全国中学生物理竞赛预赛参考答案及评分标准 一、参考解答： 1、线剪断前，整个系统处于平衡状态。此时弹簧 S1 的弹力 F1=(mA+mB+mC)g （1） 弹簧 S2的弹力 F2=mcg （2） 在线刚被剪断的时刻，各球尚未发生位移，弹簧的长度尚无变化，故 F1、F2的大小尚未变化，但线 的拉力消失。设此时 A、B、C 的加速度的大小分别为 aA、aB、aC， 则有 F1－mAg=mAaA（3） F2+mBg=mBaB（4） F2－mCg=mCaC（5） 解以上有关各式得 aA= A CB m mm g，方向竖直向上(6)；aB= B CB m mm g，方向竖直向下(7)；aC=0（8） 2、开始时，磁铁静止不动，表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力平衡。 （i）从板突然竖直向下平移到停下，板和磁铁的运动经历了两个阶段。起初，板向下加速移动， 板与磁铁有脱离接触的趋势，磁铁对板的正压力减小，并跟随板一起作加速度方向向下、速度向下 的运动。在这过程中，由于磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小。向下的加速度愈大，磁 铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于 磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。接着，磁铁和板一起作加速度方向向上、速度向下 的运动，直线停在 A′B′处。在这过程中，磁铁对板的正压力增大，最大静摩擦力亦增大，因两磁 铁已碰在一起，磁力、接触处出现的弹力和可能存在的静摩擦力总是平衡的，两条磁铁吸在一起的 状态不再改变。 （ii）从板突然竖直向下平移到停下，板和磁铁的运动也经历了两个阶段。起初，板和磁铁一起 作加速度方向向上、速度向上的运动。在这过程中，正压力增大，最大静摩擦力亦增大，作用于每 个磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡，磁铁在水平方向不发生运动。接着，磁铁和板一起作加速 度方向向下、速度向上的运动，直线停在 A″B″处。在这过程中，磁铁对板的正压力减小，最大静 摩擦力亦减小，向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到 某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。 评分标准：（本题 20 分） 1、10 分，（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）式各 1 分，aA、aB的方向各 1 分。 2、10 分，（i）5 分，（ii）5 分，（必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由，才给这 5 分，否则 不给分）。 二、参考答案 1、（i） （ii） （iii） 3 1 2、f1，f4 评分标准：（本题 20 分）1、12 分，（i）4 分，（ii）4 分，（iii）4 分。 2、8 分。两个空格都填 对，才给这 8 分，否则 0 分。 三、参考答案 1、 （i）通过对点电荷场强方向的分析，场强为零的 P 点只可能位于两点电荷之间。设 P 点的坐标 为 x0，则有 2 0 1 x q k = 2 0 2 xl )( q k （1） 已知 q2=2q1 （2） 由（1）、（2）两式解得 x0= )12( l （3） （ii）先考察点电荷 q0被限制在沿 x 轴运动的情况。q1、q2两点电荷在 P 点处产生的场强的大小 分别为 E10= 2 0 1 x q k E20= 2 0 2 xl )( q k ，且有 E10=E20，二者方向相反。点电荷 q0在 P 点受到的合力为 零，故 P 点是 q0的平衡位置。在 x 轴上 P 点右侧 x=x0+△x 处，q1、q2产生的场强的大小分别为 E′1= 2 0 1 xx )( q k E20 方向沿 x 轴负方向 由于 E′2>E′1，x=x0+△x 处合场强沿 x 轴的负方向，即指向 P 点。在 x 轴上 P 点左侧 x=x0－△x 处 ， q1 、 q2 的 场 强 的 大 小 分 别 为 E ″ 1= 2 0 1 xx )( q k >E10 方 向 沿 x 轴 正 方 向 E ″ 2= 2 0 2 xxl )( q k 0 时，P 点是 q0的稳定平 衡位置。带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都背离 P 点，所以当 q00 时，P 点是 q0的不稳定平衡位置。 带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指向 P 点，所以当 q00， P 点是 q0的稳定平衡位置，占 3 分；正确论证 q00，P 点是 q0的不稳定平衡位置，占 2 分；正确论 证 q0H，故 H x d >1 即水银柱上表面低于管口，可继续注入水银，直至 d=x（即水银柱上表面与管口相平）时为止。何 时水银柱表面与管口相平，可分下面两种情况讨论。 1、水银柱表面与管口相平时，水银柱未进入水平管，此时水银柱的长度 x≤l， 由玻意耳定律有(H+x)(L－x)=HL （3） 由（3）式可得 x=L－H （4） 由此可知，当 l≥L－H 时，注入的水银柱的长度 x 的最大值 xmax=L－H（5） 2、水银柱表面与管口相平时，一部分水银进入水平管，此时注入水银柱的长度 x>l，由玻意耳定律 有(H+l)(L－x)=HL （6） x= H l Ll (7) lH+l （9） x=L－H H l L <L－H （10） 即当 l<L－H 时，注入水银柱的最大长度 x<xmax。 由上讨论表明，当 l≥L－H 时，可注入的水银量为最大，这时水银柱的长度为 xmax，即（5）式。 评分标准：（本题 20 分） 正确论证当 l≥L－H 时，可注入的水银量最大，占 13 分。求出最大水 银量占 7 分，若论证的办法与参考解答不同，只要正确，同样给分。 五、参考解答： 正、负电子绕它们连线的中点作半径为 2 r 的圆周运动，电子的电荷量为 e，正、负电子间的库 仑力是电子作圆周运动所需的向心力，即 )2/( 2 2 2 r v m r e k (1) 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 正电子、负电子的动能分别为B,和E,有E,E.-m心产(2) (1)Ba:(a +a:) 以(1)至(6)式代入(7)式，得= 2a。 (8) 正、负电子间相互作用的势能E一专三 (3)电子偶素的总能量E=E+五-+6，(4) R+)+巴) 1.2.6.条式得E-号 句根据量子化条件mnn经=2.3，…(6) 当P匀速下降时，对整个系统来说。重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和，即 (6)式表明，r与量子数n有关.由(1)和(6)式得与量子数n对应的定态r为 mgR++)（9 以（8)式代入9式得-mg4R+R+B点10 4.4 Bia(a+a) nh2 te 2ke'm =1,2,3,(7） 评分标准：（本题25分） (1)、(2)式各2分，(3)、(4)式各3分，(5)、(6)、(7)式各2分，(9)式6分，(10)式3分 代入(5)式得与量子数n对应的定态的E值为E-”产kem 七、参考解答： nh2 =1,2,3,…(8) 1、如图1所示，设简内磁场的方向垂直纸面指向纸外，带电粒子P带正电，其速率为。P从小孔 射入网简中因受到磁场的作用力而偏离入射方向，若与简壁只发生一次藏撞，是不可能从小孔射出 1时，电子偶素的能量最小，对应于基态.基态的能量为EF-心K。加（9) 圆筒的。但与简壁碰撞两次，它就有可能从小孔射出。在此情形中，P在筒内的路径由三段等长、 等半径的圆弧HM、MN和NH组成.现考察其中一段圆弧MN,如图2所示，由于P沿筒的半径 2是第一激发态，与基态的能量差△F=3m产张em (10) 方向入射，OM和ON均与轨道相切，两者的夹角位=二厅(1) 4h2 评分标准：（本题20分）(2)式2分，(5)式4分，(7)式、(8)式各5分，(10)式4分. 六、参考解答： 设圆亮的圆半径为，则有qvB=m -(2) P被释放后，细绳的张力对D产生机械力矩，带动D和A:作逆时针的加速转动，通过两个轮子 之间无相对运动的接触，A,带动A:作顺时针的加速运动。由于两个轮子的辐条切割磁场线，所以在 圆弧对轨道圆心0'所张的圈心角B=工(3) A:产生由周边沿辐条指向轴的电动势，在A:产生由轴沿辐条指向周边的电动势，经电阻R构成闭 合电路。A、A:中各辐条上流有沿电动势方向的电流，在磁场中辐条受到安培力。不难看出，安培 由几何关系得=Rco(4) 力产生的电磁力矩是阻力矩，使A:,A:如速转动的势头减缓，A:、A2从起始的静止状态逐渐加速 2 转动，电流随之逐渐增大，电破阻力矩亦逐渐增大，直至电磁阻力矩与机械力矩相等，D、A:和A: 解(2、(3).(4)式得=g敬(5) 停止作加速转动，均作匀角速转动，此时P匀速下落，设其速度为，则A的角速度= (1) A:带动A2转动，A:的角速度上与A:的角速度1之间的关系为仙@1=(2) 2、P由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路径为=肛(6)，经历时间为一三(7) A:中每根辐条产生的感应电动势均为石，=)Ba0,(3) P从射入小孔到射出小孔经历的时间为=3和1(8) 由以上有关各式得=”(9) 轴与轮边之间的电动势就是A:中四条辐条电动势的并联，其数值见(3)式. 评分标准：（本题25分）1、17分，(1)、(2)、(3)、(4)式各3分， 同理，儿中，轴与轮边之间的电动势线是A:中四条辐条电动势的并联，其数值为=号0，④ (5)式5分：2、8分，(6、(7)、(8)(9)式各2分 八、参考解答： 小球获得沿竖直向下的初速度后，由于细绳处于松 A:中，每根辐条的电阻为R1,轴与轮边之间的电动势就是A1中四条辐条电动势的并联，其数值为 整的 R一上（⑤）A:中，每根辐条的电阻为，轴与轮边之间的电动势就是A:中四条辐条电动势 时，绳州被拉直，匀加如速直线运动终止，此时绳与竖直方 的夹角为a=30. R(6) 在这过程中，小球下落的距离s=+2sa=1+√3)(1) 的并联，其数值为R 4 细绳刚拉直时小球的速度v1满足下式：2=2+2g5(2) 6+(7) A轮、A:轮和电阻R构成申联国路，其中的电流为FR十R十R 在细绳拉紧的瞬间，由于绳的仲长量可不计面且绳是非弹性的，故小球沿细绳方向的分速度心0 a变为零，而与绳垂直的分速度保持不变，以后小球将从M点开始以初速度n'=1ima=)() 在竖直平面内作圆周运动，圆周的半径为2.圆心位于A点，如图1所示，由(1)、(2)、(3)式 得产+宁+国 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
正电子、负电子的动能分别为 Ek+和 Ek－，有 Ek+=Ek－= 2 1 mv2 （2） 正、负电子间相互作用的势能 Ep=－ r e k 2 （3） 电子偶素的总能量 E=Ek++Ek－+Ep （4） 由（1）、（2）、（3）、（4）各式得 E=－ 2 1 r e k 2 (5) 根据量子化条件 mrv=n 2 h n n=1,2,3,…… （6） （6）式表明，r 与量子数 n 有关。由（1）和（6）式得与量子数 n 对应的定态 r 为 rn= ke m hn 22 22 2 n=1,2,3,…… （7） 代入（5）式得与量子数 n 对应的定态的 E 值为 En= 22 422 n h mekn n=1,2,3,…… （8） n=1 时，电子偶素的能量最小，对应于基态。基态的能量为 E1=－ 2 422 h mekn （9） n=2 是第一激发态，与基态的能量差△E= 2 422 4 3 h mekn （10） 评分标准：（本题 20 分）（2）式 2 分，（5）式 4 分，（7）式、（8）式各 5 分，（10）式 4 分。 六、参考解答： P 被释放后，细绳的张力对 D 产生机械力矩，带动 D 和 A1作逆时针的加速转动，通过两个轮子 之间无相对运动的接触，A1带动 A2作顺时针的加速运动。由于两个轮子的辐条切割磁场线，所以在 A1 产生由周边沿辐条指向轴的电动势，在 A2 产生由轴沿辐条指向周边的电动势，经电阻 R 构成闭 合电路。A1、A2中各辐条上流有沿电动势方向的电流，在磁场中辐条受到安培力。不难看出，安培 力产生的电磁力矩是阻力矩，使 A1、A2 加速转动的势头减缓。A1、A2 从起始的静止状态逐渐加速 转动，电流随之逐渐增大，电磁阻力矩亦逐渐增大，直至电磁阻力矩与机械力矩相等，D、A1和 A2 停止作加速转动，均作匀角速转动，此时 P 匀速下落，设其速度为 v，则 A1的角速度 0 1 a v (1) A1带动 A2转动，A2的角速度ω2与 A1的角速度ω1之间的关系为ω1a1=ω2a2 （2） A1中每根辐条产生的感应电动势均为 1 2 11 2 1 Ba （3） 轴与轮边之间的电动势就是 A1中四条辐条电动势的并联，其数值见（3）式。 同理，A2中，轴与轮边之间的电动势就是 A2中四条辐条电动势的并联，其数值为 2 2 22 2 1 Ba （4） A1 中，每根辐条的电阻为 R1，轴与轮边之间的电动势就是 A1 中四条辐条电动势的并联，其数值为 RA1= 4 R1 （5） A2中，每根辐条的电阻为 R2，轴与轮边之间的电动势就是 A2中四条辐条电动势 的并联，其数值为 RA2= 4 R2 （6） A1轮、A2轮和电阻 R 构成串联回路，其中的电流为 I= 21 21 RRR AA （7） 以（1）至（6）式代入（7）式，得 I= ) 4 () 4 ( )() 2 1 ( 21 211 0 RR R vaaBa a （8） 当 P 匀速下降时，对整个系统来说，重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和，即 mgv=I2 (R+ 4 R1 + 4 R2 ) （9） 以（8）式代入（9）式得 v= 2 21 2 1 2 2 021 )( )4( aaaB aRRRmg (10) 评分标准：（本题 25 分） （1）、（2）式各 2 分，（3）、（4）式各 3 分，（5）、（6）、（7）式各 2 分，（9）式 6 分，（10）式 3 分。 七、参考解答： 1、如图 1 所示，设筒内磁场的方向垂直纸面指向纸外，带电粒子 P 带正电，其速率为 v。P 从小孔 射入圆筒中因受到磁场的作用力而偏离入射方向，若与筒壁只发生一次碰撞，是不可能从小孔射出 圆筒的。但与筒壁碰撞两次，它就有可能从小孔射出。在此情形中，P 在筒内的路径由三段等长、 等半径的圆弧 HM、MN 和 NH 组成。现考察其中一段圆弧 MN，如图 2 所示，由于 P 沿筒的半径 方向入射，OM 和 ON 均与轨道相切，两者的夹角 3 2 （1） 设圆弧的圆半径为 r，则有 qvB=m r v 2 （2） 圆弧对轨道圆心 O′所张的圆心角 3 （3） 由几何关系得 r=Rcot 2 （4） 解（2）、（3）、（4）式得 v= m 3qBR （5） 2、P 由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路径为 s=βr（6），经历时间为 t1= v s （7） P 从射入小孔到射出小孔经历的时间为 t=3t1 （8） 由以上有关各式得 t= qB m （9） 评分标准：（本题 25 分）1、17 分，（1）、（2）、（3）、（4）式各 3 分， （5）式 5 分。2、8 分，（6）、（7）、（8）、（9）式各 2 分。 八、参考解答： 小球获得沿竖直向下的初速度 v0 后，由于细绳处于松 弛状态，故从 C 点开始，小球沿竖直方向作初速度为 v0、加 速度为 g 的匀加速直线运动。当小球运动到图 1 中的 M 点 时，绳刚被拉直，匀加速直线运动终止。此时绳与竖直方向 的夹角为α=30º。 在这过程中，小球下落的距离 s=l+2lcosα=l(1+ 3 ) （1） 细绳刚拉直时小球的速度 v1满足下式：v1 2 =v2 2 +2gs （2） 在细绳拉紧的瞬间，由于绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的，故小球沿细绳方向的分速度 v1cos α变为零，而与绳垂直的分速度保持不变，以后小球将从 M 点开始以初速度 v1′=v1sinα= 2 1 v1 (3) 在竖直平面内作圆周运动，圆周的半径为 2l，圆心位于 A 点，如图 1 所示，由（1）、（2）、（3）式 得 v1 2 = )31( 2 1 4 1 2 0 glv (4) 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 当小球沿圆周运动到图中的N点时，其速度为，细绳与水平方向的夹角为0，由能量关系有 个焦点，根据对称性，注意到椭圆上的C、N两点到焦点O的距离相等，故所考察椭圈的长辆是过 2m2=m2+ms(+21sm0（50 4 O点垂直CN的直线，即图上的直线AB,椭圆的另一焦点必在AB上，己知质量为m的物体在质 量为M的地球的引力作用下作庙网运动时，物体和地球构成的系统的能量E(无穷远作为引力势能 用F表示绳对小球的拉力，有F+mgsm8=m (6 的零点)与椭圆半长轴a的关系为E=-G恤（D 2a 要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴a最短。根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两焦点到厢 1、=26反+35-10gl 圆上任一点的距离之和为，现C点到一个焦点O的距离是定值，等于地球的半径R,只要位于长 设在0=0：时（见图2），绳开始松弛，F=0,小球的速度1=m,以 轴上的另一焦点到C点的距离最小。该椭图的半长轴就最小。显然，当另一焦点位于C到AB的垂 此代入(5)、(6)两式得 a0r号 线的垂足处时，C到该低点的距离必最小.由几有关系可知2a=R+三R（2) g2=4+2g(W31+2lsin6)(7) (8) 2 由(4).(7)、(8)式和题设w的数值可求得0=4S(9)M=√2g(10) 设发射时导弹的速度为，则有E=上m (3) R 即在0=4S”时，绳开始松弛，以N:表示此时小球在国周上的位置，此后，小球将脱离圆轨道从 N处以大小为，方向与水平方向成4S角的初速度作斜抛运动. 解(1).(2)、(3)式得= R5-)4 2GM 因CAhm Rmg (5) 以N:点为坐标原点，建立直角坐标系Ny,x轴水平向右，y轴竖直向上.若以小球从N:处 抛出的时刻作为计时起点，小球在时刻：的坐标分别为u©0S”=巨 比较(4)、(5)两式得=2Rg(2-1)(6) 代入有关数据得=72ks(7) 速度的方向在C点与椭圆轨道相切。根据解析几何知识，过椭圆上一点的切线的垂直线，平分两和 1 2u-(12 1 点到该点连线的夹角∠OCP,从图中可看出，速度方向与OC的夹角0=90心一 ×45*=67.3°(8) 2 2xR 由1.(12)式.注意到(10)式.可得小球的道方程：X一一万 2、由于地球绕通过ON的轴自转，在赤道上C点相对地心的速度为= (9) (13) 式中R是地球的半径，T为地球自转的周期，T=24×3600s=86400s,故=0.46ks(10) AD面的横坐标为x=20s45”=√21(14) C点速度的方向垂直于子午面（图中纸面）。位于赤道上C点的导弹发射前也有与子午面垂直的速度 由(13)、(14)式可得小球通过AD所在竖直平面的纵坐标y=0(15) ,为使导弹相对于地心速度位于子午面内，且满足(7)、(8)两式的要求，导弹相对于地面(C 由此可见小球将在D点上方越过，然后打到DC边上，DC边的纵坐标为 点)的发射速度应有一大小等于e、方向与相反的分速度，以使导弹在此方向相对于地心的速度 =-2sin4s”-F-(V2-1y(16) 把(16)式代入(13)式，解得小球与DC边撞击点的横坐标x=1.751(17) 为零，导弹的速度的大小为'=√2+2(11)代入有关数据得r=7.4ks(12) 撞击点与D点的距离为△=X一26os45”=0.35!(18) 它在赤道面内的分速度与℃相反，它在子午面内的分速度满足(T)、(8)两式. 2、6=2(3√3+11设在0=0时，绳松弛，F=0,小球的速度=做.以此代替(5)、(6)式中的 3、质量为m的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律，故对于近地点和 14,得y2=5+2g31+21sm4)(19)wn0=%(20) :_GMm 运地点有下列关系式m-G恤-m (13) 2 279乞5(14) 以6-2(35+11g3代入(4)式，与(19)、(20)式联立.可解得0=90°(21)=√2g(2) 式中、？分别为物体在远地点和近地点的速度，1、2为远地点和近地点到地心的距离。将(14) (22)式表示小球到达圆周的最高点处时，绳中张力为0，随后绳子被拉景，球速增大，绳中的 拉力不断增加，拉力和重力沿绳字的分力之和等于小球沿四网运动所需的向心力，小球将绕以D点 式中的n代入(B)式经整理得m苔-)=G恤6-)（15) 为国心，1为半径的圆周打到梁上的C点. 评分标准：（本题25分）(3)式2分，(5)、(6)式各1分，(9)、(10)式各3分，得出小球不可能 注意到1+H=2a (16) 得与m=(17) 因Em-G (18) 打在AD边上，给3分，得出小球能打在DC边上，给2分，正确求出小球打在DC边上的位置给2 2a r 分.求出(21)、(22)式各占3分，得出小球能打在C点，再给2分. 如果学生直接从抛物线方程和=一(2si45”一=一（√2一1/求 由(16.(17).(18)式得E=-G恤 (19) 2a 出x=1.731,同样给分。不必证明不能撞击在AD边上. 评分标准：（本题25分) 九、参考答案： 1、14分.(2)式6分，(3)式2分，(6)、(7)式共4分，(8)式2分. 1、这是一个大尺度运动，导弹发射后，在地球引力作用下将沿椭园轨 2、6分.(11)式4分，(12)式2分. 道运动。如果导弹能打到N点，则此椭圆一定位于过地心O、北极点N 3、5分.(13)、(14)式各1分，(19)式3分. 和赤道上的发射点C组成的平面（此平面是C点所在的子午面）内，因 此导弹的发射速度（初速度￥）必须也在此平面内，地心O是椭圆的一 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
当小球沿圆周运动到图中的 N 点时，其速度为 v，细绳与水平方向的夹角为θ，由能量关系有 )sin23( 2 1 2 1 22 1 llmgmvvm （5） 用 FT表示绳对小球的拉力，有 FT+mgsinθ= l v m 2 2 （6） 1、 )13326(2 glv 2 0 设在θ=θ1时（见图 2），绳开始松弛，FT=0，小球的速度 v=u1。以 此代入（5）、（6）两式得 )sin23(2 1 2 1 2 1 llguv （7） mgsinθ1= l u 2 2 1 （8） 由（4）、（7）、（8）式和题设 v0的数值可求得θ1=45° （9） u1= 2gl （10） 即在θ1=45°时，绳开始松弛，以 N1 表示此时小球在圆周上的位置，此后，小球将脱离圆轨道从 N1处以大小为 u1，方向与水平方向成 45°角的初速度作斜抛运动。 以 N1 点为坐标原点，建立直角坐标系 N1xy，x 轴水平向右，y 轴竖直向上。若以小球从 N1 处 抛出的时刻作为计时起点，小球在时刻 t 的坐标分别为 x=u1cos45°t= 2 2 u1t （11） y= u1sin45°t－ 2 1 gt2 = 2 2 u1t－ 2 1 gt2 （12） 由（11）、（12）式，注意到（10）式，可得小球的轨道方程：y=x－g 2 1 2 u x =x－ l x 2 2 （13） AD 面的横坐标为 x=2lcos45°= 2 l （14） 由（13）、（14）式可得小球通过 AD 所在竖直平面的纵坐标 y=0 （15） 由此可见小球将在 D 点上方越过，然后打到 DC 边上，DC 边的纵坐标为 y=－(2lsin45°－l)=－( 2 －1)l（16） 把（16）式代入（13）式，解得小球与 DC 边撞击点的横坐标 x=1.75l （17） 撞击点与 D 点的距离为△l=x－2lcos45°=0.35l （18） 2、v0 2 =2(3 3 +11)gl 设在θ=θ2时，绳松弛，FT=0，小球的速度 v=u2。以此代替（5）、（6）式中的 θ1、u1，得 )sin23(2 2 2 2 2 1 llguv （19） msinθ2= l u 2 2 2 （20） 以 v0 2 =2(3 3 +11)gl3 代入（4）式，与（19）、（20）式联立，可解得θ2=90° （21） u2= 2gl （22） （22）式表示小球到达圆周的最高点处时，绳中张力为 0，随后绳子被拉紧，球速增大，绳中的 拉力不断增加，拉力和重力沿绳子的分力之和等于小球沿圆周运动所需的向心力，小球将绕以 D 点 为圆心，l 为半径的圆周打到梁上的 C 点。 评分标准：（本题 25 分）（3）式 2 分，（5）、（6）式各 1 分，（9）、（10）式各 3 分，得出小球不可能 打在 AD 边上，给 3 分，得出小球能打在 DC 边上，给 2 分，正确求出小球打在 DC 边上的位置给 2 分。求出（21）、（22）式各占 3 分，得出小球能打在 C 点，再给 2 分。 如果学生直接从抛物线方程和 y=－(2lsin45°－l)=－( 2 －1)l 求 出 x=1.75l，同样给分。不必证明不能撞击在 AD 边上。 九、参考答案： 1、这是一个大尺度运动，导弹发射后，在地球引力作用下将沿椭圆轨 道运动。如果导弹能打到 N 点，则此椭圆一定位于过地心 O、北极点 N 和赤道上的发射点 C 组成的平面（此平面是 C 点所在的子午面）内，因 此导弹的发射速度（初速度 v）必须也在此平面内，地心 O 是椭圆的一 个焦点。根据对称性，注意到椭圆上的 C、N 两点到焦点 O 的距离相等，故所考察椭圆的长辆是过 O 点垂直 CN 的直线，即图上的直线 AB，椭圆的另一焦点必在 AB 上。已知质量为 m 的物体在质 量为 M 的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球构成的系统的能量 E（无穷远作为引力势能 的零点）与椭圆半长轴 a 的关系为 E=－ a GMm 2 （1） 要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴 a 最短。根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两焦点到椭 圆上任一点的距离之和为 2a，现 C 点到一个焦点 O 的距离是定值，等于地球的半径 R，只要位于长 轴上的另一焦点到 C 点的距离最小。该椭圆的半长轴就最小。显然，当另一焦点位于 C 到 AB 的垂 线的垂足处时，C 到该焦点的距离必最小。由几何关系可知 2a=R+ 2 2 R （2） 设发射时导弹的速度为 v，则有 E= 2 1 mv2 － R GMm （3） 解（1）、（2）、（3）式得 v= )12( 2 R GM （4） 因 2 R GMm =mg （5） 比较（4）、（5）两式得 v= Rg )12(2 （6） 代入有关数据得 v=7.2km/s （7） 速度的方向在 C 点与椭圆轨道相切。根据解析几何知识，过椭圆上一点的切线的垂直线，平分两焦 点到该点连线的夹角∠OCP，从图中可看出，速度方向与 OC 的夹角θ=90º－ 2 1 ×45º=67.5º （8） 2、由于地球绕通过 ON 的轴自转，在赤道上 C 点相对地心的速度为 vC= T 2R （9） 式中 R 是地球的半径，T 为地球自转的周期，T=24×3600s=86400s，故 vC=0.46km/s （10） C 点速度的方向垂直于子午面（图中纸面）。位于赤道上 C 点的导弹发射前也有与子午面垂直的速度 vC，为使导弹相对于地心速度位于子午面内，且满足（7）、（8）两式的要求，导弹相对于地面（C 点）的发射速度应有一大小等于 vC、方向与 vC相反的分速度，以使导弹在此方向相对于地心的速度 为零，导弹的速度的大小为 v′= 22 C vv （11） 代入有关数据得 v′=7.4km/s （12） 它在赤道面内的分速度与 vC相反，它在子午面内的分速度满足（7）、（8）两式。 3、质量为 m 的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律，故对于近地点和 远地点有下列关系式 1 2 1 2 1 r GMm mv = 2 2 2 2 1 r GMm mv （13） 11 2 1 vr = 22 2 1 vr （14） 式中 v1、v2分别为物体在远地点和近地点的速度，r1、r2为远地点和近地点到地心的距离。将（14） 式中的 v1代入（13）式，经整理得 )()1( 2 1 12 21 2 1 2 2 2 2 rr rr GMm r r mv （15） 注意到 r1+r2=2a （16） 得 2 2 1 2 22 1 r r a GMm mv （17） 因 E= 2 2 2 2 1 r GMm mv （18） 由（16）、（17）、（18）式得 E=－ a GMm 2 （19） 评分标准：（本题 25 分） 1、14 分。（2）式 6 分，（3）式 2 分，（6）、（7）式共 4 分，（8）式 2 分。 2、6 分。（11）式 4 分，（12）式 2 分。 3、5 分。（13）、（14）式各 1 分，（19）式 3 分。 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理