顺序为:首先,制造商确定产品批发价格和回收率;然后,零售商确定产品的销售价格和回 收率。因此,该决策情形下的供应链成员利润为 k(Ta +0T2) mm=Iw-cm+△(τm+T)(q-p)-b(q-p) I=(p-w)(a-p)+ b(p-p) (v+t品a) 命题2在分散决策下,各成员最优决策分别为pD=8甲+m)+94=0b2=4+2b)、wD= 4k+(1-e2)[b2-△(△+2b) 2k(q+cm)+(1-6 0304+0、= △(1-02)(q-cm) b(1-02)(q-cm) 4k+(1-02)eb2-△(△+2b) 4k+(1-2)[eb2-△(△ 4k+(1-62)eb2-△(△+2b) 证明:根据逆向归纳法,分别对零售商利润函数m求关于产品销售价格p和零售商回 收率T的二阶偏导,所以存在有海森矩阵为 aid a2p Hp e ap aT. 2 根据假设条件可知<0且|HP>0,易证海森矩阵HP是负定的。因此,T是关于产 品销售价格p和零售商回收率τ的联合凹函数,零售商利润函数存在最优解。故由式(3)分别 对p和r的一阶偏导条件,得分散决策下的零售商最优反应函数为=+=吗 19将和代入制造商利润函数,为实现制造商利润最大化分别对产品批发价格w 和零售商回收率τm的二阶偏导,所以存在有海森矩阵为 a2d a2D k4k+b(1-02)(be+2△) h2(1a2) HD [2k-b2(1-02)]2 d2d ar m dw aTam 2k-b2(1-02) 根据假设条件可知<0且品>0,易证海森矩阵H是负定的。因此,是关于 产品批发价格w和制造商回收率τm的联合凹函数,故制造商利润函数存在最优解,对式(3) 求w和τm的一阶偏导,可得制造商的最优决策 4k+(1-62)[eb2-△(△+2b) △(1-62)(q-cm) 4k+(1 将其代入零售商最优反应函数中,即可得证 针对集中和分散决策的均衡结果进行比较,得到相关参数对最优决策的影响,以获得 推动循环经济和再制造发展的管理启示。对以上均衡结果进行简单的分析,即可得到如下结 论 结论1无论闭环供应链采取集中决策还是分散决策,单位产品的销售价格p与单位原材顺序为：首先，制造商确定产品批发价格和回收率；然后，零售商确定产品的销售价格和回 收率。因此，该决策情形下的供应链成员利润为 πm D = [w − cm + ∆(τm + τr)](φ − p) − b(φ − p) − k(τm 2 + θτr 2) 2(1 − θ2) (2) πr D = (p − w)(φ − p) + b(φ − p) − k(τr 2 + θτm 2 ) 2(1 − θ2) (3) 命题 2 在分散决策下，各成员最优决策分别为pD = k(3φ+cm)+φ(1−θ2)[θb2−∆(∆+2b)] 4k+(1−θ2)[θb2−∆(∆+2b)] 、wD = 2k(φ+cm)+(1−θ2)[φ(b2−∆2+θ)−b2cm] 4k+(1−θ2)[θb2−∆(∆+2b)] 、τm D = ∆(1−θ2)(φ−cm) 4k+(1−θ2)[θb2−∆(∆+2b)] 、τr D = b(1−θ2)(φ−cm) 4k+(1−θ2)[θb2−∆(∆+2b)] 。 证明：根据逆向归纳法，分别对零售商利润函数πr D求关于产品销售价格pD和零售商回 收率τr D的二阶偏导，所以存在有海森矩阵为 Hr D = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ∂2πr D ∂p2 ∂2πr D ∂p ∂τr ∂2πr D ∂τr ∂p ∂2πr D ∂τr 2 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = � −2 −b −b −k 1 − θ2 � 根据假设条件可知∂2πr D ∂p2 < 0且�Hr D� > 0，易证海森矩阵Hr D是负定的。因此，πr D是关于产 品销售价格p和零售商回收率τr的联合凹函数，零售商利润函数存在最优解。故由式(3)分别 对p和τr的一阶偏导条件，得分散决策下的零售商最优反应函数为p� = k(φ+w)−φb2(1−θ2) 2k−b2(1−θ2) 、τ�r = b(1−θ2)(φ−w) 2k−b2(1−θ2) 。将p�和τ�r代入制造商利润函数，为实现制造商利润最大化分别对产品批发价格w 和零售商回收率τm的二阶偏导，所以存在有海森矩阵为 Hm D = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ∂2πm D ∂w2 ∂2πm D ∂w ∂τm ∂2πm D ∂τm ∂w ∂2πm D ∂τm 2 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ −k[4k + b(1 − θ2)(bθ + 2∆)] [2k − b2(1 − θ2)]2 −k∆ 2k − b2(1 − θ2) −k∆ 2k − b2(1 − θ2) −k 1 − θ2 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 根据假设条件可知∂2πm D ∂w2 < 0且�Hm D � > 0，易证海森矩阵Hm D是负定的。因此，Hm D是关于 产品批发价格w和制造商回收率τm的联合凹函数，故制造商利润函数存在最优解，对式(3) 求w和τm的一阶偏导，可得制造商的最优决策wD = 2k(φ+cm)−(1−θ2)[∆φ(∆+2b)−b2(φ+θφ−cm)] 4k+(1−θ2)[θb2−∆(∆+2b)] 、τm D = ∆(1−θ2)(φ−cm) 4k+(1−θ2)[θb2−∆(∆+2b)] 。将其代入零售商最优反应函数中，即可得证。□ 针对集中和分散决策的均衡结果进行比较，得到相关参数对最优决策的影响，以获得 推动循环经济和再制造发展的管理启示。对以上均衡结果进行简单的分析，即可得到如下结 论： 结论 1 无论闭环供应链采取集中决策还是分散决策，单位产品的销售价格p与单位原材