=as90+r0a0-r =1+200+l-200,R =哈+方-浮分+》 解法2注意到区域D的对称性，对换被积函数中太y的位置积分值不变，因此 后+后h=小后+点 =后+点+片+云h =信++h =行+心ao。pdp 香宁+京 注运用极坐标计算二重积分最好是能同时简化积分区域和被积函数，如果二者不能兼 顾，通常选择能简化积分区域的方法。也有些积分，尽管用直角坐标能够更简单的描述积分 区域，但是由于被积函数的特殊性（如积分不能计算），则只有通过变换坐标来计算，例如 下面的例15. 例15计算二重积分1=川e市dd,其中D由x+y=Lx=0,y=0围成. 分析积分区域如图8一6所示.观察此被积函数的特点，如果 y 采用直角坐标直接进行计算，虽然容易化为二次积分，但是二次积分 中的定积分难以计算出来.可以考虑用极坐标来计算。 解用极坐标来计算， 1=jea品9pdp 图8-16 品 1 (sino -就六dn。六i-0-n 错误解答由x+y=1,x=0,y=0,得 1=∬e产=∬ed=∬e'=∬= 错解分析这是微积分初学者常犯的错误，将二重积分与曲线积分相混。对于二重积 2 2 2 2 4 2 2 0 0 cos sin 1 ( ) 4 d d R a b     = +      2 2 4 2 2 0 0 1 1 cos 2 1 1 cos 2 1 ( ) 2 2 4 d d R a b       + − = +    4 4 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ). 4 4 R R a b a b  = + = +  解法 2 注意到区域 D 的对称性，对换被积函数中 x y 、 的位置积分值不变，因此 2 2 2 2 D x y dxdy a b + ( ) 2 2 2 2 ( ) D y x dxdy a b = +  2 2 2 2 2 2 2 2 1 [( ) ( )] 2 D x y y x dxdy a b a b = + + +  2 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 2 D x y dxdy a b = + + 2 3 2 2 0 0 1 1 1 ( ) 2 R d d a b  = +      4 2 2 1 1 ( ) 4 R a b  = + ． 注 运用极坐标计算二重积分最好是能同时简化积分区域和被积函数，如果二者不能兼 顾，通常选择能简化积分区域的方法．也有些积分，尽管用直角坐标能够更简单的描述积分 区域，但是由于被积函数的特殊性（如积分不能计算），则只有通过变换坐标来计算，例如 下面的例 15． 例 15 计算二重积分 , y x y D I e dxdy + =  其中 D 由 x y x y + = = = 1, 0, 0 围成． 分析 积分区域如图 8－16 所示．观察此被积函数的特点，如果 采用直角坐标直接进行计算，虽然容易化为二次积分，但是二次积分 中的定积分难以计算出来．可以考虑用极坐标来计算． 解 用极坐标来计算． sin 1 2 cos sin cos sin 0 0 I e d d          + + =   图 8－16 sin 2 cos sin 2 0 1 1 2 (cos sin ) e d        + = +  sin sin 2 2 cos sin cos sin 0 0 1 sin 1 1 [ ] ( 1) 2 cos sin 2 2 e d e e            + + = = = − +  ． 错误解答 由 x y x y + = = = 1, 0, 0 ，得 0 1 0 1 2 y x y D D D D I e dxdy e dxdy e dxdy dxdy + = = = = =     ． 错解分析 这是微积分初学者常犯的错误，将二重积分与曲线积分相混淆．对于二重积 x y + =1 x y o 1 1