分∬fx,a,被积函数fx)是定义在整个平面区域D上的，而不仅仅是定义在D的边 界曲线（本题为x+y=Lx=0,y=0)上，因此不能将边界曲线满足的关系直接代入被积函 数的表达式中. 注若二重积分1=川fx,yG的被积函数fx,)可以写成fx,)=g(白的形式，则 可以用极坐标将被积函数分高变量，即1=厂1x,以o=厂g(吕ad0d0.一餐情况 下，这样可以使积分的计算变得容易一些 例16(05研)计算二重积分∬+x+y1,其中 D={x川x2+y≤V5,x20,y20, 几+x2+y]表示不超过1+2+y2的最大整数. 分析积分区域为扇形域，如图8一17所示。采用极坐标计算为 图8-17 宜。被积函数实际上是分段函数，应将积分区域分开考虑. 解法1∬l+x2+y广=dosin8cos印+p'Hp sim0cos0do(dp+dp) -odo-[2040)- 解法2可先将积分区域分开，再作极坐标变换。记 D={(xy川x2+y2<1x20,y209, D,={xy1≤x2+y2≤2x≥0，y≥0， 则当()eD时，1+x2+y]=1:当(x,y)∈D,时，1+x2+y]=2,于是 o+r+yht=ot+2odt =dapsin0cos6dp+信da2psin9cos6dp 好 例17用二重积分求曲线(x2+y2?=9x2-y2)所围成区域的面积4. 分析由二重积分的几何意义可知，当被积函数为1时，曲项柱体的体积在数值上 等于积分区域D的面积。即A=∬.又因为曲线方程中含有？+少广项，可以考虑在 极坐标系下计算此二重积分.分 ( , ) , D f x y d  被积函数 f x y ( , ) 是定义在整个平面区域 D 上的，而不仅仅是定义在 D 的边 界曲线（本题为 x y x y + = = = 1, 0, 0 ）上，因此不能将边界曲线满足的关系直接代入被积函 数的表达式中． 注 若二重积分 ( , ) D I f x y d =   的被积函数 f x y ( , ) 可以写成 ( , ) ( ) y f x y g x = 的形式，则 可以用极坐标将被积函数分离变量，即 cos ( , ) ( ) sin D D I f x y d g d d       = =   ．一般情况 下，这样可以使积分的计算变得容易一些． 例 16（05 研） 计算二重积分 2 2 [1 ] D xy x y dxdy + +  ，其中 2 2 D x y x y x y = +    {( , ) | 2, 0, 0}， 2 2 [1 ] + + x y 表示不超过 2 2 1+ + x y 的最大整数． 分析 积分区域为扇形域，如图 8－17 所示．采用极坐标计算为 宜．被积函数实际上是分段函数，应将积分区域分开考虑． 图 8－17 解法 1 4 2 2 2 3 2 2 0 0 [1 ] sin cos [1 ] D xy x y dxdy d d  + + = +          4 1 2 3 3 2 0 0 1 sin cos ( 2 ) d d d  =  +           4 1 2 3 3 0 1 1 3 ( 2 ) 2 8 = + =     d d   ． 解法 2 可先将积分区域分开，再作极坐标变换．记 2 2 1 D x y x y x y = +    {( , ) | 1, 0, 0}， 2 2 2 D x y x y x y =  +    {( , ) |1 2, 0, 0}， 则当 1 ( , ) x y D  时， 2 2 [1 ] 1 + + = x y ；当 2 ( , ) x y D  时， 2 2 [1 ] 2 + + = x y ，于是 1 2 2 2 [1 ] 2 D D D xy x y dxdy xydxdy xydxdy + + = +    4 1 2 2 2 3 3 0 0 0 1 d d d d sin cos 2 sin cos   = +               1 1 3 8 4 8 = + = ． 例 17 用二重积分求曲线 2 2 2 2 2 ( ) 9( ) x y x y + = − 所围成区域的面积 A ． 分析 由二重积分的几何意义可知，当被积函数为 1 时，曲顶柱体的体积在数值上 等于积分区域 D 的面积．即 D A dxdy =  ．又因为曲线方程中含有 2 2 x y + 项，可以考虑在 极坐标系下计算此二重积分． x y o 1 2 1 2