解令x=pcos0,y=psim0并代入曲线方程，得 p2=9c0s20,画出曲线所围成的区域D,如图8-18所示.利 用对称性只需计算第一象限内的区域D,的面积即可，其中 D={p,8)I0≤p≤3os20.0≤8≤， 图8-18 即A=dpd0=4∬pp0=4 dofpdp=8cs20d0=9. 例18设半径为R的球面Σ的球心在定球面x2+y2+:2=d(a>0)上.问当R取何值 时，球面Σ在定球面内部的那部分的面积最大？ 分析此题为考察二重积分与极值的综合题.利用二重积分求出球面在定球内的部分的 面积.它是R的函数.再利用求极值的方法求出极值点，不失一般性，球面Σ的球心不妨选 在：轴上. 解设球面Σ的方程为x2+y+(仁-a=R2,则两球面交线方程为 x2+y2+2=a2, x2+y2+e-a2=R2, y. s=0, 记此投影区域为D·球面在定球面内的方程为：=a-√R一x-y，则这部分球面的面 积为 s=++=R-x- R -尝a华o 对上式两瑞关于R求导得SR=4标R-3玩心，SR=4r-6:R.令SR)=0,求得唯一驻 点R=a.因为Sa)=-4<0,所以当R=a时，球面Σ在定球面内部的部分的面积 最大。 注1求曲面面积是二重积分的一个应用。解题步骤是先写出曲面方程，例如 :=x,).求出在相应坐标面上的投影区域以及曲面微元公式√++dc.则可得曲 解 令 x y = =     cos , sin 并 代 入 曲 线 方 程 ， 得 2   = 9cos2 , 画出曲线所围成的区域 D ，如图 8－18 所示．利 用对称性只需计算第一象限内的区域 D1 的面积即可，其中 1 {( , ) | 0 3 cos 2 ,0 }, 4 D  =          图 8－18 即 1 3 cos 2 4 4 0 0 0 4 4 18 cos 2 9 D D A d d d d d d d    = = = = =                 ． 例 18 设半径为 R 的球面  的球心在定球面 2 2 2 2 x y z a a + + =  ( 0) 上．问当 R 取何值 时，球面  在定球面内部的那部分的面积最大？ 分析 此题为考察二重积分与极值的综合题．利用二重积分求出球面在定球内的部分的 面积．它是 R 的函数．再利用求极值的方法求出极值点．不失一般性，球面  的球心不妨选 在 z 轴上． 解 设球面  的方程为 2 2 2 2 x y z a R + + − = ( ) ，则两球面交线方程为 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) x y z a x y z a R  + + =   + + − = ， ， 消去 z 可得 2 2 2 2 2 2 (4 ) 4 R x y a R a + = − ，两球面的交线在 xOy 面上的投影为 2 2 2 2 2 2 (4 ) 4 0 R x y a R a z   + = −    = ， ， 记此投影区域为 D xy ．球面  在定球面内的方程为 2 2 2 z a R x y = − − − ，则这部分球面的面 积为 2 2 2 2 2 ( ) 1 xy xy x y D D R S R z z dxdy dxdy R x y = + + = − −   2 2 3 2 4 2 2 0 0 2 2 2 (0 2 ) R a R a Rd R d R R a R a        − = = −   −   ， 对上式两端关于 R 求导得 2 3 6 ( ) 4 , ( ) 4 R R S R R S R a a     = − = −   ．令 S R( ) 0 = ，求得唯一驻 点 4 3 R a = ．因为 4 ( ) 4 0 3 S a  = −   ，所以当 4 3 R a = 时，球面  在定球面内部的部分的面积 最大． 注 1 求曲面面积是二重积分的一个应用．解题步骤是先写出曲面方程，例如 z z x y = ( , )．求出在相应坐标面上的投影区域以及曲面微元公式 2 2 1 x y + + z z d ．则可得曲 x y −3 o 3 D1