面面积为s=∬V++do 注2求曲面在坐标面上的投影区域，一般就是求曲面的边界线在坐标面上的投影曲线 所围成的区域. 例19求球体x2+y2+2≤R2与x2+y2+2≤2R的公共部分的体积V 分析设该立体为Q,其图形如图8-19所示，设Ω在坐标 面xOy上的投影区域为D,则其体积可视为以D为底，分别以 :=√R-x-y和：=R-√R-x-少为顶的两个曲顶柱体的 体积之差，根据二重积分的几何意义可得 V=∬VR-x-yd-J∬R-VR-x-r: 还可以根据三重积分的几何意义，立体体积等于被积函数为1，积 图8-19 分区域为该立体所围的空间区域所对应的三重积分 解法1采用二重积分计算. 首先求区域D.根据立体几何的知识，将x2+y2+2=R2与x2+y2+2=2心联立并消 去：，就得到此立体在xOy平面上的投影区域为 D={x,川x2+y2≤R,显然D为一圆域.故所求立体体积 r=∬R-r-y-jR-R-r-ydd =2VR-2-ydd-∬Rdd 2dop-pdp-R -月x2rR-p-子R-音 解法2采用三重积分，再将三重积分用“先一后二”的方法来计算。 p-∬t-j止 =jr-r-可-(R-R-rhd =∬VR-r-了-小R-R-r-yad -R 注在用重积分求立体的体积时，如果用三重积分来计算，则将三重积分用“先一后二” 的方法来计算时，当把其中的“一”次积分计算出来后，得到的就是解法1中的二重积分， 可见两种方法虽然意义不同，但计算是相通的面面积为 2 2 1 x y D S z z d = + +   ． 注 2 求曲面在坐标面上的投影区域，一般就是求曲面的边界线在坐标面上的投影曲线 所围成的区域． 例 19 求球体 2 2 2 2 x y z R + +  与 2 2 2 x y z Rz + +  2 的公共部分的体积 V ． 分析 设该立体为  ，其图形如图 8－19 所示，设  在坐标 面 xOy 上的投影区域为 D ，则其体积可视为以 D 为底，分别以 2 2 2 z R x y = − − 和 2 2 2 z R R x y = − − − 为顶的两个曲顶柱体的 体积之差，根据二重积分的几何意义可得 2 2 2 2 2 2 [ ] D D V R x y dxdy R R x y dxdy = − − − − − −   ； 还可以根据三重积分的几何意义，立体体积等于被积函数为 1，积 分区域为该立体所围的空间区域所对应的三重积分． 图 8－19 解法 1 采用二重积分计算． 首先求区域 D ．根据立体几何的知识，将 2 2 2 2 x y z R + + = 与 2 2 2 x y z Rz + + = 2 联立并消 去 z ，就得到此立体在 xOy 平面上的投影区域为 2 2 2 3 {( , ) | } 4 D x y x y R = +  ，显然 D 为一圆域．故所求立体体积 2 2 2 2 2 2 ( ) D D V R x y dxdy R R x y dxdy = − − − − − −   2 2 2 2 D D = − − − R x y dxdy Rdxdy   3 2 2 2 2 2 0 0 3 2 ( ) 2 R d R d R R  = − −         3 3 2 2 3 3 2 2 0 2 3 5 2 [( ) ] 3 4 12 R = −   − − =     R R R ． 解法 2 采用三重积分，再将三重积分用“先一后二”的方法来计算． 2 2 2 2 2 2 R x y R R x y D V dxdydz dxdy dz − − − − −  = =    2 2 2 2 2 2 [ ( )] D = − − − − − − R x y R R x y dxdy  2 2 2 2 2 2 ( ) D D = − − − − − − R x y dxdy R R x y dxdy   5 3 12 =  R ． 注 在用重积分求立体的体积时，如果用三重积分来计算，则将三重积分用“先一后二” 的方法来计算时，当把其中的“一”次积分计算出来后，得到的就是解法 1 中的二重积分， 可见两种方法虽然意义不同，但计算是相通的． x o y z 2R R R R