例20计算三重积分川x:dw,其中Q是由平面x+y+:=1及三个坐标面围成的四面体 分析积分区域2如图8一20所示，它由空间中的平面围 成，宜选用直角坐标来描述。然后考虑将三重积分化为二重积 分或定积分来计算，通常有两种方法：“先一后二”法和“先 上后一”法 解法1采用“先一后二”法.先确定将Q投影到某个坐 图8-20 标平面，再用“穿线法”将二重积分化为二次积分.积分区域 为2={(xy,川x+y+:≤1，x≥0，y20,:20},将2投影到坐 标面xO上，得到投影区域为D·D,={《x,)川0sys1-x,0≤xs1},在D,内任取一点 (x以过此点作平行于：轴的直线穿过区域Q,它从平面：=0穿入，从平面：=1-x-y穿 出，于是 cdw=∬dawt=a0-x-yr =-x-=-达=0 所得截面为D.={《x,川0≤y≤1-x-,0≤x≤1-}（这里把：看作定值），则 ∬ew=。止x=dgxd。 =0-x-=-0-t=20 注计算重积分，首先要选择合适的坐标系，将重积分化为累次积分进行计算，对于三 重积分，有直角坐标、柱面坐标和球面坐标三种坐标系可以选择： (1)当积分区域是由较多平面或不具有对称性的曲面围成时，通常选用直角坐标进行 计算： (2)当积分区域含有x2+y2项，或可以看作是以空间中某曲线为母线、绕某坐标轴旋 转而得到的立体区域时，通常选用柱面坐标系较为简单： (3)当积分区域含有x+y2+2项时，通常选用球面坐标计算.当然，选用哪种坐标 系不仅要考虑积分区域的特点，还要兼顾被积函数的特点. 例21计算三重积分I=川ysin(x+)do,其中是由曲面y=F及平面 y=0,2=0,x+:=)围成. 例 20 计算三重积分 xzd,   其中  是由平面 x y z + + =1 及三个坐标面围成的四面体． 分析 积分区域  如图 8－20 所示，它由空间中的平面围 成，宜选用直角坐标来描述．然后考虑将三重积分化为二重积 分或定积分来计算，通常有两种方法：“先一后二”法和“先 二后一”法． 解法 1 采用“先一后二”法．先确定将  投影到某个坐 标平面，再用“穿线法”将二重积分化为二次积分．积分区域 为  = + +     ( , , ) | 1, 0, 0, 0 x y z x y z x y z  ，将  投影到坐 图 8－20 标面 xOy 上，得到投影区域为 D xy ， D x y y x x xy =   −   ( , ) | 0 1 ,0 1 ，在 D xy 内任取一点 ( , ), x y 过此点作平行于 z 轴的直线穿过区域  ，它从平面 z = 0 穿入，从平面 z x y = − − 1 穿 出，于是 1 2 0 1 (1 ) 2 x y D D xzd dxdy xzdz x x y dxdy  − −  = = − −     1 1 2 0 0 1 (1 ) 2 x xdx x y dy − = − −   1 3 0 1 1 (1 ) 6 120 = − = x x dx  ． 解法 2 采用“先二后一”法．先确定将  投影到某个坐标轴上，再用“截面法”．空 间区域  在 z 轴上的投影区间为 [0,1], 在此区间内任取一点 z ，过该点作平面垂直于 z 轴， 所得截面为 D x y y x z x z z =   − −   − ( , ) | 0 1 ,0 1  （这里把 z 看作定值），则 1 1 1 1 0 0 0 0 z z x z D xzd dz xzdxdy zdz xdx dy  − − −  = =       1 1 0 0 (1 ) z zdz x x z dx − = − −   1 3 0 1 1 (1 ) 6 120 = − = z z dz  ． 注 计算重积分，首先要选择合适的坐标系，将重积分化为累次积分进行计算．对于三 重积分，有直角坐标、柱面坐标和球面坐标三种坐标系可以选择： （1）当积分区域是由较多平面或不具有对称性的曲面围成时，通常选用直角坐标进行 计算； （2）当积分区域含有 2 2 x y + 项，或可以看作是以空间中某曲线为母线、绕某坐标轴旋 转而得到的立体区域时，通常选用柱面坐标系较为简单； （3）当积分区域含有 2 2 2 x y z + + 项时，通常选用球面坐标计算．当然，选用哪种坐标 系不仅要考虑积分区域的特点，还要兼顾被积函数的特点． 例 21 计 算 三 重 积 分 I y x z d sin( ) ,   = +  其 中  是 由 曲 面 y x = 及平面 y = 0, z = 0, 2 x z  + = 围成． x y z + + =1 1 x y z o 1 1