分析积分区域Ω如图8一21示.根据2的特点，宜采用直 角坐标系。注意到在D内任取一点用“穿线法”，易判断穿入点和 穿出点分别为：=0和：=号.因而采用“先一后二”的方法数 简单 解法1用“先一后二”法.Ω在xOy平面上的投影区域为 D,=xI0≤y≤G,0≤x≤，再由“穿线法"得0≤：≤号-x 图8-2 于是 I=j∬ysin(ex+:dw=∬dd'ysin(x+t =∬yco-yo动=xosh 对 解法2用“先二后一”法。将Q向：轴投影得0s:5,再用垂直于：轴的平面截Q 得D.={川0≤y≤G,0≤x≤写-，则 I=J∬ysin(x+:dw=t∬ysin(cx+dd =管sinx+冰=sg+d fdm+-0-血达-子- 例22证明：∬fedw=xfu1-)d血，其中Q是由球体 x2+y2+2≤1所确定，∫x)是R上的可积函数. 分析此被积函数只是关于变量：的函数以而且用垂直于：人 轴的平面截积分区域Q(如图8一22所示)得到的截面为圆域（与： 有关)，不妨记为D.,截面圆的面积易求，若采用“先二后一”的方 图8-2 法来计算，则二重积分的积分区域即为上述圆域，而由于被积函数是1，那么二重积分的值 即为圆的面积，再求一次定积分即得结果. 证明用“先二后一”法.2在：轴的投影区间为-1≤：≤1，用垂直于：轴的平面去截 2得到的圆域为x2+y2≤1-2，记为D,则 ∬e=e达=可e以-达=可u-rh.证毕分析 积分区域  如图 8－21 示．根据  的特点，宜采用直 角坐标系．注意到在 D 内任取一点用“穿线法”，易判断穿入点和 穿出点分别为 z = 0 和 2 z x  = − ．因而采用“先一后二”的方法较 简单． 解法 1 用“先一后二”法．  在 xOy 平面上的投影区域为 {( , ) | 0 ,0 } 2 D x y y x x xy  =     ，再由“穿线法”得 0 , 2 z x    − 于是 图 8－21 2 0 sin( ) sin( ) x D I y x z d dxdy y x z dz   −  = + = +    2 2 0 0 0 1 cos cos cos 2 x D y xdxdy dx y xdy x xdx   = = =     1 4 2  = − 解法 2 用“先二后一”法．将  向 z 轴投影得 0 2 z    ，再用垂直于 z 轴的平面截  得 {( , ) | 0 ,0 } 2 D x y y x x z z  =     − ，则 2 0 sin( ) sin( ) Dz I y x z d dz y x z dxdy    = + = +    2 2 2 2 0 0 0 sin( ) sin( ) 2 z x z x x x x z dz dx y x z dy dz dx     − − + = + =      2 2 2 0 0 1 1 1 cos( ) (1 sin ) 2 2 4 2 z x dz xd x z z dz    −  = − + = − − = −    ． 例 22 证明： 1 2 1 f z d f u u du ( ) ( )(1 ) ,   −  = −   其中  是由球体 2 2 2 x y z + + 1 所确定， f x( ) 是 R 上的可积函数． 分析 此被积函数只是关于变量 z 的函数 f z( ), 而且用垂直于 z 轴的平面截积分区域  （如图 8－22 所示）得到的截面为圆域（与 z 有关），不妨记为 D z ，截面圆的面积易求，若采用“先二后一”的方 图 8－22 法来计算，则二重积分的积分区域即为上述圆域，而由于被积函数是 1，那么二重积分的值 即为圆的面积，再求一次定积分即得结果． 证明 用“先二后一”法． 在 z 轴的投影区间为 −   1 1 z ，用垂直于 z 轴的平面去截  得到的圆域为 2 2 2 x y z +  −1 ，记为 D z ，则 1 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) (1 ) ( )(1 ) Dz f z d f z dz dxdy f z z dz f u u du    − − −  = =  − = −      ．证毕． x y z o D z x y z o 2  2  D