注如果被积函数只是关于变量：的函数，而用垂直于：轴的平面截Q得到的截面面积 容易求（如本例中截面为圆）时，采用“先二后一”的方法较简单。 例23计算三重积分1=∬d,其中n是由曲面：=2-于及：=+广围成. 分析注意到积分区域的表达式中含有x2+y项，可以考虑采用柱坐标计算：或者如 果注意到被积函数只含有：，垂直于：轴的平面截积分区域2（如图8一23所示）得到的截 面为圆，还可以采用“先二后一”的方法。 解法1用柱坐标变换。 ={e,p,0川p2≤z≤√2-p,0≤p≤1,0≤0≤2}.则 I-du-"dof dp"dod =广amap=aaep-p-pup= 图8-23 解法2用“先二后一”法 1=∬dw=t广+t 其中D,()为垂直于：轴的平面截曲面：=x2+y2(0≤：≤)所得的半径为VE的圆域，D,() 为垂直于：轴的平面截曲面：=V2-x-y1≤z≤2)所得的半径为V2-2的圆域，因此 1咖-t+t =t+小a2-t=写+子-2 注当积分区域为圆柱体、扇形柱体、环形柱体，或被积函数含有2+少2项时，通常 选用柱坐标系较为简单。利用柱面坐标计算三重积分，可以看作是对三重积分的“先一后二” 法中的二重积分利用极坐标计算. 例24(97研)计算1=∬2+y，其中Q为平面曲线2绕：轴旋转一周 x=0 形成的曲面与平面：=8所围成的区域。 分析首先要将2的边界曲面弄清楚，它由两部分组成，一是旋转抛物面2：=x2+y的 部分，另一部分是平面：=8的一部分.由于被积函数与Q的边界表达式中均含有x2+y, 故可考虑用柱面坐标或用“先二后一”. 解法1曲线广2：绕：轴旋转一周生成的旋转抛物面为：=2+y),它与平面 x=0 :=8围成Ω，Ω在平面xOy上的投影区域为x2+y2≤16.选用柱坐标变换，由于被积函数 注 如果被积函数只是关于变量 z 的函数，而用垂直于 z 轴的平面截  得到的截面面积 容易求（如本例中截面为圆）时，采用“先二后一”的方法较简单． 例 23 计算三重积分 I zd,  =  其中  是由曲面 2 2 z x y = − − 2 及 2 2 z x y = + 围成． 分析 注意到积分区域的表达式中含有 2 2 x y + 项，可以考虑采用柱坐标计算；或者如 果注意到被积函数只含有 z ，垂直于 z 轴的平面截积分区域  （如图 8－23 所示）得到的截 面为圆，还可以采用“先二后一”的方法． 解法 1 用柱坐标变换． 2 2  =   −     {( , , ) | 2 ,0 1,0 2 } z z        ．则 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 0 0 0 0 I zd d d zdz d d zdz              − −  = = =        2 2 2 2 1 2 1 2 3 5 0 0 0 0 1 7 [ ] (2 ) 2 2 12 z d d d d              − = = − − =     ． 图 8－23 解法 2 用“先二后一”法 1 2 1 2 0 1 ( ) ( ) , D z D z I zd zdz dxdy zdz dxdy   = = +      其中 1 D z( ) 为垂直于 z 轴的平面截曲面 2 2 z x y z = +   (0 1) 所得的半径为 z 的圆域， 2 D z( ) 为垂直于 z 轴的平面截曲面 2 2 z x y z = − −   2 (1 2) 所得的半径为 2 2 − z 的圆域，因此 1 2 1 2 0 1 D z D z ( ) ( ) I zd zdz dxdy zdz dxdy   = = +      1 2 2 0 1 1 1 7 (2 ) 3 4 12 = + − = + = z zdz z z dz        ． 注 当积分区域为圆柱体、扇形柱体、环形柱体，或被积函数含有 2 2 x y + 项时，通常 选用柱坐标系较为简单．利用柱面坐标计算三重积分，可以看作是对三重积分的“先一后二” 法中的二重积分利用极坐标计算． 例 24 （97 研）计算 2 2 I x y dv ( )  = +  ，其中  为平面曲线 2 2 0 y z x  =   = 绕 z 轴旋转一周 形成的曲面与平面 z = 8 所围成的区域． 分析 首先要将  的边界曲面弄清楚，它由两部分组成，一是旋转抛物面 2 2 2z x y = + 的 一部分，另一部分是平面 z = 8 的一部分．由于被积函数与  的边界表达式中均含有 2 2 x y + ， 故可考虑用柱面坐标或用“先二后一”． 解法 1 曲线 2 2 0 y z x  =   = 绕 z 轴旋转一周生成的旋转抛物面为 1 2 2 ( ) 2 z x y = + ，它与平面 z = 8 围成  ，  在平面 xOy 上的投影区域为 2 2 x y + 16. 选用柱坐标变换，由于被积函数 x y z o 2 2 1 2