A.1=12·B.2弘=42C.4=2弘2D.4H=h2 图8-14 分析被积函数与积分区域的表达式中均含有绝对值符号，应先将积分区域表达式中的 绝对值符号去掉，画出积分区域，然后用类似例10、11中的方法来计算，但本题根据积分 区域的特点应考虑用奇偶对称性则更简单。 解选D.积分区域如图8一4所示.由于被积函数fx,)=是关于x和y的偶函 数，而且D,是关于xy轴都称的区域，D,恰好是D,位于第一象限的区域，故正确答案为 D. 例13计算1=∬edo,其中D={x川+以s. 分析积分区域D既关于x轴对称，又关于y轴对称，而被积 函数y关于x或y都不具有奇偶性，因此不能利用奇偶对称性计 算 解积分区域如图8一15所示.y轴将区域D分为两部分， 分别记为D和D,则 1=j∬e"rdo=∬eva+j∬e"dd =fededy+fedfed =2+5*2=-日 错误解答记积分区域在第一象限的部分为D,则 I-feda-ddd(e-lyh-4. 错解分析此解法注意到了积分区域关于x、y轴对称，想利用对称性简化计算，但是 被积函数却既非奇函数也非偶函数，所以川e“dc≠4∬e“d. 注利用对称性简化计算时一定要兼顾积分区域的对称性和被积函数的奇偶性 例14设区线D=训2+护s,则后后-一 分析如果二重积分的被积函数中含有x+少，或者积分区域是圆形、扇形、环形等 形状，通常采用极坐标的形式进行计算较简单。本题积分区域为圆域，宜采用极坐标计算。 解法1小告+长h-0pg0,9o o upA． 1 2 I I = ． B． 1 2 2I I = ． C． 1 2 I I = 2 ． D． 1 2 4I I = ． 图 8－14 分析 被积函数与积分区域的表达式中均含有绝对值符号，应先将积分区域表达式中的 绝对值符号去掉，画出积分区域，然后用类似例 10、11 中的方法来计算，但本题根据积分 区域的特点应考虑用奇偶对称性则更简单． 解 选 D．积分区域如图 8－14 所示．由于被积函数 ( , ) x y f x y e + = 是关于 x 和 y 的偶函 数，而且 D2 是关于 xy, 轴都对称的区域， D1 恰好是 D2 位于第一象限的区域，故正确答案为 D． 例 13 计算 , x y D I e d + =  其中 D x y x y = +  ( , ) | 1． 分析 积分区域 D 既关于 x 轴对称，又关于 y 轴对称，而被积 函数 x y e + 关于 x 或 y 都不具有奇偶性，因此不能利用奇偶对称性计 算． 解 积分区域如图 8－15 所示． y 轴将区域 D 分为两部分， 分别记为 D1 和 2 D , 则 图 8－15 1 2 x y x y x y D D D I e d e dxdy e dxdy  + + + = = +    0 1 1 1 1 1 0 1 x x x y x y x x e dx e dy e dx e dy + − − − − − = +     3 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 e e e e e e = − + + = − ． 错误解答 记积分区域在第一象限的部分为 0 D , 则 0 1 1 1 1 0 0 0 4 4 4 ( 1) 4 x x y x y x y x x D D I e d e dxdy e dx e dy e e dx  − + + − = = = = −      ＝ ． 错解分析 此解法注意到了积分区域关于 x y 、 轴对称，想利用对称性简化计算，但是 被积函数却既非奇函数也非偶函数，所以 0 4 x y x y D D e d e dxdy  + +    ． 注 利用对称性简化计算时一定要兼顾积分区域的对称性和被积函数的奇偶性． 例 14 设区域 2 2 2 D x y x y R = +  {( , ) | } ，则 2 2 2 2 D x y dxdy a b + = ( ) ． 分析 如果二重积分的被积函数中含有 2 2 x y + ，或者积分区域是圆形、扇形、环形等 形状，通常采用极坐标的形式进行计算较简单．本题积分区域为圆域，宜采用极坐标计算． 解法 1 2 2 2 2 D x y dxdy a b + ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 cos sin ( ) R d d a b    = +       2 2 2 3 2 2 0 0 cos sin ( ) R d d a b    = +      x −1 1 D2 D1 | | | | 1 x y + = y 1 −1 o