解.令u=sin2y,则=ysin2y.得到 √1+x2=2x+c2小+2 为一阶线性方程 解得u=2m2(+lm|x+Ⅵ1+x2D.即sim2y_(c+hn|x+√1+x2D 2. (x-2xy-y )dy +y dx=0 解.原方程可化为 dx 1,为一阶线性方程0为自变量,x为因变量 解得:x=y2+cye 3. xy'ln xsin y+cos y(1-xcos y)=0 解.令cosy=u,则t=-y'siny.原方程化为 u'xInx +u(1-xu=0 为贝奴利方程 xIn x Inx u x In Inx 令z=-,则z 方程化为x+ xIn x In,为一阶线性方程 解得 (x+c)p_1 x+c cos y In x (x +c)cos y=In x 求解下列微分方程: 1.edx +(xe'-2y)dy=0 解.e'dx+xe'dy-2ydy=0 于是d(xe")-d2=0.所以方程解为xe-y2=c 2.x+ dx+1 =0 解.xdx+dy+ dx dy=0 设函数(x,y)满足dn(x,y) 所以 u(x,y) dx +o()=arcsin -+o(y) y解.  令u sin  y , u '  y ' sin 2 y  2 = 则 = .  得到 2  2 2 1 1 '  2 x  x u xu e  + + = + ,  2 2 1 2 1  1  2  '  2 x  e  u  x  x  u  x + = + - + 为一阶线性方程 解得 ( ln |  1  |) 2 1 2 2 u  e  c  x  x  x = + + + + .  即 sin  ( ln |  1  |) 2 2 1 2 2 y  e  c  x  x  x = + + + + .  2.  ( 2  ) 0  2 2 x - xy - y  dy + y  dx = 解.  原方程可化为 2 2  1 y  x  y  x  dy  dx = + - .  即 1  1  2  2 = ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê + - x  dy  y  y  dx ,  为一阶线性方程(y 为自变量, x 为因变量).  解得: y  x y  cy e  1 2 2 = + .  3.  xy' ln x sin y + cos y (1 - x cos y ) = 0  解.  令cos y = u ,  则 u' = -y ' sin y .  原方程化为 - u ' x ln x + u (1 - xu ) = 0  x  u  x  x  u  u ln  ln  '  2 - + = ,  为贝奴利方程. u x  x  u x  u ln 1 1 ln '  1 2 + × = - .  令 u z 1 = ,  则 2 '  ' u u z - = .  方程化为 x  z  x  x  z ln 1 ln 1 '+ = ,  为一阶线性方程.  解得 x  x  c  z ln ( + ) = .  即 x  x  c  cos y ln  1 + = , (x + c ) cos y = ln x .  三.  求解下列微分方程： 1.  e  dx + (xe - 2 y )dy = 0  y  y  解.  e  dx + xe dy - 2ydy = 0  y y  .  于是 ( ) 0  2 d  xe - dy  = y .  所以方程解为 xe y  c  y - = 2 .  2.  1 0 1 2 2 2 2 = ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Ë Ê - + - ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Ë Ê - + dy  y  y  x  x  dx  y  x  x  解.  0 1 2 2 2 2 = - - - + + dy  y  y  x  x  dx  y  x  xdx  dy  设函数u (x , y ) 满足du(x , y ) = dy  y  y  x  x  dx  y x  2 2 2 2 1 - - - .  所以 2 2 1 x  y  x  u - = ¶ ¶ ,  ( ) arcsin ( ) 1 ( ,  ) 2 2 y  y  x  dx  y  y  x  u x  y  + j = + j - = Ú