所以 +q(y) 于是q'(y)=0,9(y)=c 所以原方程的解为x+y+ arcsin=c 2x)dx+ 2ydy=0 解.由原方程可得(x2+y2)dx+d(x2+y2)=0 得到a+4(x2+y2) 于是原方程解为x+ln(x2+y2)=c 四.求解下列微分方程 v(x 解.2yy(x-1) 令y2=l,得到(x-1)=u-x n=-x为一阶线性方程解得 n(x-1)+c 即y2=c(x-1)+x-(x-1)ln(x-1) 解.该方程为贝奴利方程 y u n+u=x3 5 --u=-5x2.解得l=x3(c+x2) 5 于是 =cx +-x 五.设y(x)在实轴上连续,v(0)存在,且具有性质v(x+y)=v(x)y(y),试求出v(x) 解.v(0+0)=v(0y(0),v(0)=y2(0),v(0)=0,v(0)=1 i)v(0)=0.对于任何x有v(x+△x)=v(x)y(△x) 所以(x)=lim(x+Ax)=v(x)limv(△x)=v(xy(0)=0所以 2 2 2 2 2 ' ( ) 1 y  y  x  x  y  y  x  y  x  y  u - + = - - - = ¶ ¶ j .  于是j '( y) = 0 ,j ( y ) = c  所以原方程的解为 c  y  x  x + y + arcsin  = 2  1  2 3.  ( 2  ) 2  0  2 2 x  + y  + x  dx + ydy = 解.  由原方程可得 ( ) ( ) 0  2 2 2 2 x  + y  dx + d  x  + y  = 得到 0  ( ) 2 2 2 2 = + + + x  y  d  x  y  dx .  于是原方程解为 x + ln( x  + y  ) = c  2 2 .  四.  求解下列微分方程:  1.  2  ( 1 ) '  2 - - = y  x  y  x  y  解. yy x - = y  - x  2 2  ' ( 1 ) 令 y = u  2 ,  得到u' (x -1 ) = u - x  1 1 1 ' - = - - - x  x  u x  u 为一阶线性方程.  解得 ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê - - + - = - x  c  x  x  u x  ln( 1 ) 1  ( 1 ) .  即 ( 1 ) ( 1 )ln( 1 ) 2 y = c  x - + x - x - x - 2.  3 6 xy'+ y = x  y  解.  该方程为贝奴利方程.  6 5 3 xy y '+ y  = y  - - .  令 , 5 y = u  - 5  '  '  6 - y y = u  - ,  3 '  5 u u x  x - + = 2 5 5 ' u x  x  u - = - .  解得 ) 2 5 ( 5 - 2 u = x  c + x  于是 5 5 3 2 5 y = cx + x  - 五.  设y (x) 在实轴上连续,  y'(0 ) 存在,  且具有性质y(x + y ) =y (x )y ( y ) ,  试求出y (x).  解.  y(0 + 0 ) =y (0 )y (0 ) ,  (0 ) (0 ) 2 y =y ,  y(0 ) = 0 ,  y(0 ) = 1 .  i)  y(0 ) = 0 .  对于任何 x 有y(x + Dx ) =y (x )y (Dx ) 所以 ( ) lim  ( ) ( ) lim  ( ) ( ) (0 ) 0  0 0 Y = + D = D = = D Æ D Æ x  y x  x  y x  y x  y x y x x