所以v(x)≡0 in)v(0)=1 y(x+Ar-y(x) y(xy(Ax)-v(x) y(x((Ax)-1 v(x(y(x-y(o 上式令Ax→0,得到 v(x)=y(x)y(0) 解得v(x)=eo)x 六.求解下列方程: I.ydx+(y-x)dy=0 y(0)=1 x 解.可得dy 这是以y为自变量的一阶线性方程 1)=0 解得x=y(c-ny) x(1)=0,c=0.所以得解x=-yln x(y+l)+sin(x+y)=0 2 xu+sin u=0 解令x+y=.可得x、z dx In -=In(csc u-cot u) csc u-cot t sin ll 丌 C l() 兀-cot 22丌 2 2 2x Sc(x+y)-cot(x+y 七.求解下列方程 (1+x2)y"+(y3)+1=0 解令y=则y”= 所以(1+x 中p d x P+1、 arctan p=-arctanx+c 所以P+x=tanc=c1,p+x=c1-crx,p(1+cx)=c1-x所以 y(x) º 0 .  ii) y(0 ) = 1  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x x  x  D - = D D - = D D - = D y ( + D ) - y ( ) y ( )y ( ) y( ) y( )(y ( ) 1) y ( )(y ( ) y (0)) 上式令Dx Æ 0 ,  得到 Ó Ì Ï = = (0 ) 1  '( ) ( ) ' (0 ) y y x  y x y 解得 x  x e  ' (0) ( ) y y = .  六.  求解下列方程:  1. Ó Ì Ï = + - = (0 ) 1  ( ) 0  y  ydx y  x  dy  解.  可得 Ô Ó Ô Ì Ï = - = - (1 ) 0  1 x  y  x  dy  dx .  这是以 y 为自变量的一阶线性方程.  解得 x = y (c - ln y ).  x(1 ) = 0 ,  c = 0 .  所以得解 x = - y ln y .  2. Ô Ó Ô Ì Ï = + + + = ) 0 2 ( ( '  1) sin( ) 0 p y  x  y  x  y  解.  令 x + y = u .  可得 Ô Ó Ô Ì Ï = + = 2 ) 2 ( ' sin 0 p p u xu u u du x  dx sin - = ,  ln ln(csc u cot u) x  c = - , u u x  c = csc - cot .  2 ) 2 (p p u = ,  1  2  cot  2  csc  2 = - = p p p c ,  2 p c = .  解为 csc( ) cot( ) 2 x  y  x  y  x = + - + p .  七.  求解下列方程:  1.  (1  ) ' '  ( ' ) 1  0  2 2 + x  y  + y  + = 解.  令 dx  dp y' = p, 则y ' ' = .  所以 (1 ) 1 0 2 2 + + p + = dx  dp x ,  2 2 1 1  x  dx  p  dp + = - + arctan p = - arctan x + c  所以 1 tan  1 c  c  px  p x  = = - + , p x  c  c  px  + = 1 - 1 , p + c x  = c  - x  1 1 (1  )