anx-sinx=-x+o(x), 若随意地在原式中用smx~x,tanx~x作代换,将会不合理地舍弃了高阶无穷小量x3,因 而导致错误的结论 问题2怎样给出当x→x0时的非无穷大量的正面陈述? 答若f(x)是当x→x0时的无穷大量,则其定义为 VG>0,38>0,Vx∈U°(x0;a)时,有f(x)G 若f(x)是当x→x时的非无穷大量,则其定义为 3G0>0,Vδ>0,3x'∈U(x0;),使得f(x)|≤G。 作为上述非无穷大量的正面陈述的应用,可以证明:若f(x)是U(x0)上当x→x0时的非无穷 大量,则存在常数G与各项互异的数列{xn},虽mxn=x,但f(xn)≤G0这是因为, 取δ=1,3x1∈U°(x;1),使f(x1)≤Go, 取2=m11-xx2∈U(x),使f(x2)≤G 取,=m(1|-xxx.),侧(x)≤G 意即对x→x时的非无穷大量f(x),存在趋向于x0的各项不相同的数列{xn},而{(xn)是有 界的 第四章函数的连续性 §1连续性概念 问题1设函数∫在某邻域U(x)内有定义,若对一列数En=(n=12,…),存在n>0, 当x-x。<6时,(x)-f(x)<En,试问是否能断定f(x)在点x连续? 答在这种情况下,可以断定f(x)在点x0处连续,这是因为( ) 2 1 tan sin 3 3 x − x = x + o x ， 若随意地在原式中用 sin x ~ x ， tan x ~ x 作代换，将会不合理地舍弃了高阶无穷小量 3 2 1 x ，因 而导致错误的结论. 问题 2 怎样给出当 0 x → x 时的非无穷大量的正面陈述？ 答 若 f (x) 是当 0 x → x 时的无穷大量，则其定义为 0, 0, ( ; ) G    xU x0  时，有| f (x) |>G. 若 f (x) 是当 0 x → x 时的非无穷大量，则其定义为 0, 0, ( ; ) G0    x U x0  ，使得| f (x ) |≤ G0 . 作为上述非无穷大量的正面陈述的应用，可以证明：若 f (x) 是 ( ) 0 U x 上当 0 x → x 时的非无穷 大量，则存在常数 G0 与各项互异的数列 xn  ，虽 0 lim x x n n = → ，但| ( ) n f x |≤ G0 .这是因为， 取 1, ( ; )  1 1 0  1 = x U x ，使| ( )1 f x |≤ G0 ， 取 , , ( ; ) 2 1  2 min 1 0 2 0  2 x x x U x       = − ，使| ( ) 2 f x |≤ G0 ， ………… 取 , , ( ; ) 1 n min n 1 0 n 0 n x x x U x n            = − − ，使| ( ) n f x |≤ G0 ， ………… 意即对 0 x → x 时的非无穷大量 f (x) ，存在趋向于 0 x 的各项不相同的数列 xn  ，而 f (xn ) 是有 界的. 第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 问题 1 设函数 f 在某邻域 U（ 0 x ）内有定义，若对一列数 ( 1,2, ) 2 1  n = n n =  ，存在  n  0 ， 当 n x − x0   时， n f (x) − f (x )   0 ，试问是否能断定 f (x) 在点 0 x 连续？ 答 在这种情况下，可以断定 f (x) 在点 0 x 处连续，这是因为：