VE>0,丑N,n≥N时,l <E 对2,36,>0,当-对<6,(-x52x 于是 vE>0,36(=6)>0,当x-x<6时,f(x)-f(x0)<E 注上面先由E找到N,再由N找到δ的方法,其中N是起了中间桥梁作用,读者应当注意这 种分析技巧.条件中可以用一列En代替En。>0, lim a=0 问题2若f(x)在某个邻域U(x。)内有定义,如何给出f(x)在点x。不连续的正面陈述? 答若f(x)在点x0处不连续,则mf(x)不存在,或者mf(x)存在但不等于f(x).其正面 陈述分别为: imf(x)不存在彐E0>0,6>0,丑x,x'∈U°(x0;0),使得 f(x')-f(x")≥E (1.1) imf(x)≠f(x0)分丑E0>0,Vδ>0,3x'∈U°(x0;a),使得 f(x)-f(x)≥Eo 例如狄利克雷函数 1,x为有理数 D(x) 0,x为无理数 yxo∈R,imD(x)不存在,于是在任意点x为0,1和(0,1)内无理数时,黎曼函数在这些点 处连续;而当x为(0,1)中有理数时,imR(x)≠R(x0),即(0,1)中有理点是黎曼函数的不 x→x0 连续点.这也可直接用(1.2)验证如下 P V>0,取U°(x0δ)中无理点x f(x)-f(x0)=0-=6 于是由(1.2),R(x)在x=P处不连续  0， N, n≥N 时，   n 2 1 ； 对 N 2 1 ，  N  0 ，当 N N x x f x f x 2 1 , ( ) ( ) − 0  − 0  ； 于是   0, (=  N )  0 ，当 x − x0   时， ( ) − ( )   0 f x f x . 注 上面先由ε找到 N，再由 N 找到  的方法，其中 N 是起了中间桥梁作用，读者应当注意这 种分析技巧. 条件中 n 2 1 可以用一列 n  代替 n  >0，lim = 0 → n n  . 问题 2 若 f (x) 在某个邻域 U（ 0 x ）内有定义，如何给出 f (x) 在点 0 x 不连续的正面陈述？ 答 若 f (x) 在点 0 x 处不连续，则 lim ( ) 0 f x x→x 不存在，或者 lim ( ) 0 f x x→x 存在但不等于 ( ) 0 f x . 其正面 陈述分别为： lim ( ) 0 f x x→x 不存在 0, 0, , ( ; )   0    x  x U x0  ，使得 f (x ) − f (x ) ≥ 0  ； （1.1） lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x  → 0, 0, ( ; )   0    x U x0  ，使得 ( ) ( ) 0 f x  − f x ≥ 0  ； （1.2） 例如狄利克雷函数 1， x 为有理数， D（x）= 0， x 为无理数. , lim ( ) 0 0 x R D x x→x   不存在，于是在任意点 0 x 为 0，1 和（0，1）内无理数时，黎曼函数在这些点 处连续；而当 0 x 为（0，1）中有理数时， lim ( ) ( ) 0 0 R x R x x x  → ，即（0，1）中有理点是黎曼函数的不 连续点. 这也可直接用（1.2）验证如下： 对 , 0 1 , 0 =  0 =   q q p x ，取 ( ; ) U x0  中无理点 x ， 0 0 1 | ( ) − ( )|= 0 − =  q f x f x 于是由（1.2），R（x）在 q p x0 = 处不连续