§2连续函数的性质 问题1若函数∫在开区间(ab)内一致连续,为何由此可推得f(a+0),f(b-0)存在? 答函数f在(ab)内的一致连续性是∫在(ab)内的整体性质,即 vE>0,36()>0,Vx,x"∈(ab),当x-x"1<δ时, f(r)-f(x'<E 特别当x,x"∈U°(a6)时,有x-x"1<6,于是亦有|(x)-f(x)<E而这就是函数∫当 x→a时存在极限的柯西准则条件,于是f(a+0)存在.同理f(b-0)也存在 这样就从函数∫在(a,b)内一致连续性推得了f(a+0),f(b-0)都存在 若定义[a,b]上的函数F(x) f(a+0) f(x),x∈(a,b) f(b-0)x=b, 则因imF(x)=lmf(x)=f(a+0)=F(a),imF(x)=imf(x)=f(b-0)=F(b),故F(x)为 [a,b]上的连续函数,即(a,b)内的一致连续函数∫可以延拓成[a,b]上的连续函数F.从而F(x)在 [a,b]上有界,在(a,b)内亦有界,而在(a,b)内F(x)=f(x),所以在(a,b)内一致连续的函数 必在(a,b)内有界 注函数极限的柯西准则是函数在某点邻域中满足的局部性质,但一致连续性是区间I上函数 的整体性质,应当注意两者的区别和联系 问题2试总结证明函数为一致连续的常用方法 答通常有以下一些方法: (1)按一致连续性定义验证 (2)若函数∫在区间上满足李普希茨条件,则∫必在该区间上一致连续(见本节习题14 (3)应用一致连续性定理 (4)设区间l的端点c∈l1,区间l2的左端点c∈l2,若函数∫在1,2上都一致连续,则∫在 =1∪l2上一致连续 (5)开区间(a1b)内的连续函数f(x)为一致连续的充要条件为f(a+0),f(b-0)都存在例 如,f(x)=5x为(0.1)内的一致连续函数,这是因为mx=1与m5x=sm都存在 问题3试给出区间I上的函数f(x)不一致连续的正面陈述 答函数f在区间I上不一致连续:360>0.V6>0,3x,x"∈1,满足x-x"1<6,但是 lf(x')-f(x")|≥E0§2 连续函数的性质 问题 1 若函数 f 在开区间（a,b）内一致连续，为何由此可推得 f (a + 0)， f (b − 0) 存在？ 答 函数 f 在（a,b）内的一致连续性是 f 在（a,b）内的整体性质，即   0, ( )  0,x  , x (a,b) ，当 x  − x   时， f (x ) − f (x ) <  . 特别当 x ，x U (a; ) +   时，有 x  − x   ，于是亦有 f (x ) − f (x ) <  .而这就是函数 f 当 → + x a 时存在极限的柯西准则条件，于是 f (a + 0) 存在.同理 f (b − 0) 也存在. 这样就从函数 f 在（a,b）内一致连续性推得了 f (a + 0)， f (b − 0) 都存在. 若定义[a,b]上的函数 F（x）： f (a + 0) x = a ， F(x) = f (x) ， x(a,b) ， f (b − 0) x = b ， 则因 lim F(x) lim f (x) f (a 0) F(a) x a x a = = + = → + → + ，lim F(x) lim f (x) f (b 0) F(b) x b x b = = − = → − → − ，故 F(x) 为 [a,b]上的连续函数，即（a,b）内的一致连续函数 f 可以延拓成[a,b]上的连续函数 F.从而 F(x) 在 [a,b]上有界，在（a,b）内亦有界，而在（a,b）内 F(x) = f (x) ，所以在（a,b）内一致连续的函数 必在（a,b）内有界. 注 函数极限的柯西准则是函数在某点邻域中满足的局部性质，但一致连续性是区间 I 上函数 的整体性质，应当注意两者的区别和联系. 问题 2 试总结证明函数为一致连续的常用方法. 答 通常有以下一些方法： （1）按一致连续性定义验证； （2）若函数 f 在区间上满足李普希茨条件，则 f 必在该区间上一致连续（见本节习题 14）； （3）应用一致连续性定理； （4）设区间 1 I 的端点 1 c I ，区间 2 I 的左端点 2 c I ，若函数 f 在 1 2 I , I 上都一致连续，则 f 在 1 2 I = I  I 上一致连续. （5）开区间（a,b）内的连续函数 f (x) 为一致连续的充要条件为 f (a + 0)， f (b − 0) 都存在.例 如， x x f x sin ( ) = 为（0,1）内的一致连续函数，这是因为 1 sin lim 0 = → + x x x 与 sin1 sin lim 1 = → − x x x 都存在. 问题 3 试给出区间 I 上的函数 f (x) 不一致连续的正面陈述. 答 函数 f 在区间 I 上不一致连续：   0,  0,x  , x I  0  ，满足 x  − x   ，但是 | f (x ) − f (x )| ≥ 0 