2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 lim f(x) abg(x) ()当≠0时,广义积分!f(x)d与g(x)x有相同的效散性 2)当=0时,广义积分8(x)dx收敛则J0f(x)d收敛 (当2=时,广义积分f(x)收敛则g(x)dx收做 准则(x-=<x当p<1收敛,p≥1时发散,因此,若 im(x-b)f(x)=4≥0,且P<1.则f(x)x收做 x→>b 例89判断广义积分6dx的收敛性 √Snx 解: 0 √Snx x+「x.dx, SInx z√sinx 第一个积分显然收敛,对第二个积分令x-丌=t,dx=dt, ∫z-dhx 丌 at=8-.ax,收敛 vinx 2 sin t sInx co arctan x 例8.10讨论」0 的收敛性 + arctan x 0 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 4-清华大学理科楼 电话:62781782005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 = λ → − ( ) ( ) lim g x f x x b , 则 (1) 当λ ≠ 0时, 广义积分 ∫ 与 有相同的敛散性; b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx (2) 当λ = 0 时, 广义积分 ∫ 收敛则 收敛; b a g(x)dx ∫ b a f (x)dx (3) 当λ = ∞时, 广义积分 ∫ 收敛则 收敛. b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx 准 则 8.8 dx x b b a p ∫ ( − ) 1 当 p < 1 收 敛 ， p ≥1 时 发散. 因 此 ， 若 lim( − ) ( ) = ≥ 0 → − x b f x λ p x b ,且 p <1,则 ∫ 收敛。 b a f (x)dx 例 8.9 判断广义积分 dx x ∫ π 0 sin 1 的收敛性. 解: dx x ∫ π 0 sin 1 dx x dx x = ∫ + ∫ π π π 2 20 sin 1 sin 1 ， 第一个积分显然收敛，对第二个积分令 x − π = t, dx = dt ， dx x dt t dx x ∫ = −∫ = ∫ 20 0 2 2 sin 1 sin 1 sin 1 π π π π ，收敛. 例 8.10 讨论 dx x x p ∫ +∞ 0 arctan 的收敛性. 解: dx x x p ∫ +∞ 0 arctan 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 4 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785