005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 arctan ar ctan x ∫=dx+1=n"dx xX arctan 对第一个积分, 与 等价(x→>0 1<1,→p<2收敛 arctan x 对第二个积分 与—进行比阶, lim arctan x X→)+00 P 因此,当P≥q>1时第二个积分收敛。综合上述分析,1<P<2时积分收敛 例81计算」 (++h 解:取变换x=tanl,atr=t 1+t t sec t 1+tant d sint 1 arctan(2sin2.I arctan2例812设 1+sin t 2 常数a>0,若 dx=∫ ,则a 1+x 1+x 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 5-清华大学理科楼 电话:62781782005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 dx x x p = ∫ 1 0 arctan dx x x p ∫ +∞ + 1 arctan 对 第一个 积分， p x arctan x 与 1 1 p− x 等 价 （ ） ， 收敛. x → 0 p −1 < 1, ⇒ p < 2 对第二个积分， p x arctan x 与 q x 1 进行比阶， ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = > = − →+∞ p q p q x x p q x 2 0 arctan lim π 因此，当 p ≥ q > 1时第二个积分收敛。综合上述分析，1 < p < 2时积分收敛。 例 8.11 计算 ∫ +∞ + + 0 2 2 (1 5 ) 1 1 dx x x 。 解: 取变换 2 1 tan , t dt x t dx + = = ，则 ∫ + = 20 2 1 5tan π sec dt t t I arctan 2 2 1 arctan(2sin ) 2 1 1 4sin sin 2 0 20 2 = = + = ∫ π π t t d t 例 8.12 设 常数a > 0,若 ∫ ∫ +∞ + = + a a dx x dx x 0 2 2 1 1 1 1 ,则a = 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 5 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785