得到 Ax By C A2+B2 代入上面的方程组,得到 ∞-4/x-AB、AC L AB 1-B BC L. AC BC(1-C -4|z=0 2 由约束条件可知驻点不在原点,即上面方程组有非零解,所以其 系数行列式为零。经计算得到 A2-1B2 A- B )2+( b2c2 ca ab 0 显然目标函数的最大值与最小值不为零,即≠0,所以f的最大值与 最小值分别为方程 )2+( 0 b2c2 的两个根 2.在周长为2p的一切三角形中,找出面积最大的三角形。 解记三角形的边长为a,b,c,面积为s,则S2=p(p-a)(p-b)(p-c)。令 L(a, b, c,A)=p(p-a)(p-b(p-c)-(a+b+c-2p) 求偏导数,得到 L,=-p(p-b)(p-c)+1=0, Lb=-p(P-a)(p-c)+=0, p(p-a(P-b)+=0 于是得到 2 2 2 2 2 2 2 Ax By Cz A B C abc µ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + + + ⎝ ⎠ 2 2 2 2 Ax By Cz abc ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠， 代入上面的方程组，得到 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0, 2 1 0, 2 1 0 2 x y z L A AB AC x y z a b c L AB B BC x y a b c L AC BC C x y z a b c λ λ λ ⎧ ⎛ ⎞ − ⎪ = − ⎜ ⎟ − − = ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ − ⎨ = − + ⎜ ⎟ − − = ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎛ ⎞ − ⎪ = − − + ⎜ ⎟ − = ⎪⎩ ⎝ ⎠ 。 z 由约束条件可知驻点不在原点，即上面方程组有非零解，所以其 系数行列式为零。经计算得到 −λ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) ( A B C A B C a b c b c c a a b λ λ ⎡ ⎤ − − − + + + + + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ) = 0， 显然目标函数的最大值与最小值不为零，即λ ≠ 0，所以 的最大值与 最小值分别为方程 f ) ( ) 0 1 1 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + = − + − + − + a b C c a B b c A c C b B a A λ λ 的两个根。 2. 在周长为2 p 的一切三角形中，找出面积最大的三角形。 解 记三角形的边长为a, , b c，面积为S ，则 2 S p = ( ) p − − a ( p b)( p − c) 。令 L(a,b, c,λ) = − p( p a)( p − b)( p c − ) − λ(a b + + c − 2 p) ， 求偏导数，得到 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c L p p b p c L p p a p c L p p a p b λ λ λ ⎧ = − − − + = ⎪ ⎨ = − − − + = ⎪ ⎩ = − − − + = 0, 0, 0, 于是 163