再根据约束条件得到 a=b 所以面积最大的三角形为正三角形,最大面积为3p2。 3.要做一个容积为1立方米的有盖铝圆桶,什么样的尺寸才能使用 料最省? 解假设圆桶的底面半径为r,高为h,则圆桶的容积为xr2h=1,表面 积为S=2mh+2mr2。令 L(r,h,)=2h+2r 求偏导,得到 L=2Th+4Tr-2Trh=0, λ=0, 解得h=2r,再代入约束条件xr2h=1,得到 h= 根据题意,目标函数必有最小值,所以可知当底面半径为,高为 时用料最省 4.抛物面=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆,求原点到这个椭圆 的最长距离与最短距离。 解设原点到椭圆上一点的距离为d(x,y,x),则d2=x2+y2+2。令 L(x,y,,,p) A 二)-1(x+ 求偏导数,得到p a − = p − b = p − c， 再根据约束条件得到 2 3 abc = = = p ， 所以面积最大的三角形为正三角形，最大面积为 2 9 3 p 。 3. 要做一个容积为 1 立方米的有盖铝圆桶，什么样的尺寸才能使用 料最省？ 解 假设圆桶的底面半径为 r，高为 h，则圆桶的容积为 ，表面 积为 2 π r h =1 2 S r = 2π h + 2π r 。令 2 2 L r( ,h,λ π ) = + 2 rh 2πr − λ(πr h −1)， 求偏导，得到 2 2 4 2 2 0 r h L h r rh L r r π π π λ π π λ ⎧ = + − = ⎨ ⎩ = − = ， ， 0 解得h = 2r ，再代入约束条件 2 π r h =1，得到 3 1 2 r π = ， 3 4 h π = 。 根据题意，目标函数必有最小值，所以可知当底面半径为3 2 1 π ，高为 3 4 π 时用料最省。 4. 抛物面 z = x 2 + y 2 被平面 x + y + z = 1截成一椭圆，求原点到这个椭圆 的最长距离与最短距离。 解 设原点到椭圆上一点的距离为d x( , y,z)，则 2 2 2 d x y z 2 = + + 。令 2 2 2 2 2 L x( , y,z,λ µ, ) = + x y + z − λ(x + y − z) − µ(x + y + z −1)， 求偏导数，得到 164