L1=2x-2x-=0, L,=2y-2y-=0 0 将前两式相减,得到(-1(x-y)=0 若=1,则有u=0,z=-,显然不满足约束条件 若λ≠1,则x=y,再联立约束条件z=x2+y2与x+y+z=1,可解 出x=y=(-1±√3),z=2x2=2千√,从而有d2=953。 由于满足约束条件的点集是连通紧集,目标函数连续,所以必有 最大值和最小值。于是得到 dn=√9+53,dm=√9-55。 5.求椭圆x2+3y2=12的内接等腰三角形,其底边平行于椭圆的长轴 而使面积最大。 解设(x,y)x≥0为三角形底边上的顶点,则三角形面积为S=x(2-y) 令 L(x,y,4)=x(2-y)-(x2+3y2-12), 求偏导数,得到 L,=-x-6y 消去λ,可得6y-3y2+x2=0,再联立约束条件x2+3y2=12,可得满足 x20的驻点只有(0.,2)和(3,-1) 当(x,y)=(0,2)时S=0,当(x,y)=(3,-1)时S=9。由题意三角形面积 定存在最大值,于是得到 9 max 6.求空间一点(ab,c)到平面Ax+By+Cx+D=0的距离。 1652 2 0 2 2 0 2 0 x y z L x x L y y L z λ µ λ µ λ µ ⎧ = − − = ⎪ ⎨ = − − = ⎪ ⎩ = + − = , , , 将前两式相减，得到( 1 λ − − )(x y) = 0。 若λ =1，则有µ = 0 ， 1 2 z = − ，显然不满足约束条件。 若λ ≠1，则 x = y ，再联立约束条件 z = x 2 + y 2 与 x + y + z = 1，可解 出 x = y 1 ( 1 3) 2 = − ± ， 2 z x = = 2 2 ∓ 3，从而有 2 d = 9 5 ∓ 3 。 由于满足约束条件的点集是连通紧集，目标函数连续，所以必有 最大值和最小值。于是得到 dmax = 9 + 5 3 ，dmin = 9 − 5 3 。 5. 求椭圆 的内接等腰三角形，其底边平行于椭圆的长轴， 而使面积最大。 3 12 2 2 x + y = 解 设 为三角形底边上的顶点，则三角形面积为 ， 令 ( , x y), x ≥ 0 S x = (2 − y) 2 2 L x( , y,λ λ ) = − x(2 y) − (x + 3y −12)， 求偏导数，得到 2 2 6 , x y L y x, L x y λ λ ⎧⎪ = − − ⎨ ⎪ = − − ⎩ 消去λ ，可得 ，再联立约束条件 ，可得满足 的驻点只有 和(3 。 2 2 6 3 y y − + x = 0 3 12 2 2 x + y = x ≥ 0 (0, 2) ,−1) 当( , x y) = (0, 2)时S = 0，当( , x y) = (3,−1)时S = 9。由题意三角形面积 一定存在最大值，于是得到 Smax = 9。 6. 求空间一点(a,b, c)到平面 Ax + By + Cz + D = 0的距离。 165