解设(x,y,)为平面上的一点,它与点(a,b,c)之间的距离为d(xy,z), 则d2=(x-a)2+(y-b)2+(x-c)2,令 L(,y, r,2)=d(x,y, =)-2(Ax+By+C=+D) 求偏导,得到 L1=2(x-a)-A b)-B元=0, L=2(=-c)-C=0 解得 x=a+A, y=b+1B, :=c+r2c 代入约束条件Ax+By+Cz+D=0,得到 a Aa+ bb+Cc+D A+b-+c 于是 nA.(B).(nc(Aa+Bb+Cc+D) A- +B2+C 所以(a,b,c)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为 A+bb+cc+ D 42+B2+C 7.求平面4x+By+C=0与柱面+=1相交所成的椭圆的面积 (A,B,C都不为零;a,b为正数)。 解椭圆的中心在原点,原点到椭圆周上点(x,y,2)的距离d的最大值 和最小值分别为椭圆的长半轴和短半轴。令 L(x,y,,,)=x2+y2+2-(x+2 a2+b2-1-以(4x+By+C=), 求偏导数,得到解 设( , x y z, ) 为平面上的一点，它与点 之间的距离为 ， 则 ，令 ( , abc, ) d x( , y,z) 2 2 2 d x = − ( ) a + ( y − b) + (z − c 2 ) + 2 L( , x y z, ,λ λ ) = − d (x, y z, ) (Ax + By +Cz D)， 求偏导，得到 2( ) 0, 2( ) 0, 2( ) 0, x y z L x a A L y b B L z c C λ λ λ ⎧ = − − = ⎪ ⎨ = − − = ⎪ ⎩ = − − = 解得 1 2 x = + a Aλ ， 1 2 y b = + λB ， 1 2 z c = + λC ， 代入约束条件 Ax + By + Cz + D = 0，得到 2 2 2 2 Aa Bb Cc D A B C λ + + + = − + + 。 于是 2 2 2 = 2 2 2 2 A B C d ⎛ ⎞ λλλ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 ( ) Aa Bb Cc D A B C + + + = + + ， 所以(a,b, c)到平面 Ax + By + Cz + D = 0的距离为 2 2 2 A B C aA bB cC D d + + + + + = 。 7. 求平面 Ax + By + Cz = 0 与柱面 1 2 2 2 2 + = b y a x 相交所成的椭圆的面积 （ A, B,C 都不为零；a,b为正数）。 解 椭圆的中心在原点，原点到椭圆周上点( , x y z, ) 的距离 d 的最大值 和最小值分别为椭圆的长半轴和短半轴。令 2 2 2 2 2 2 2 ( , , , , ) ( 1) ( ) x y L x y z x y z Ax By Cz a b λ µ = + + − λ + − − µ + + ， 求偏导数，得到 166