2Ax HA=0, 21 B=0. AC=0, 0, L=-(Ax+By+C=)=0, 于是 L+yL, +EL 因为满足约束条件的点集是连通紧集,目标函数连续,所以必有 最大值和最小值。由上式可知最大值和最小值包含在上面的方程组关 于4的解中。以=2=-24x+B代入前两个方程,可得 a AaB 2 AB 1 B 此方程组有非零解,所以系数行列式为0。因此 A2B2 0 即 +C1 这个二次方程的两个根λ1与2就是椭圆的长半轴和短半轴的平方,因 此椭圆面积为S=x√l2,利用多项式根与系数的关系可得 所以 1672 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 0, ( 1) ( ) x y z x L x A a y L y B b L z C x y L a b L Ax By Cz λ µ λ µ λ µ µ ⎧ = − − = ⎪ ⎪ ⎪ = − − = ⎪ ⎪ ⎨ = − = ⎪ ⎪ = − + − = ⎪ ⎪ = − + + = ⎪ ⎩ , , 0, 0, 于是 ( ) 1 2 2 2 0 2 x y z xL + + yL zL = x + y + z − λ = 。 因为满足约束条件的点集是连通紧集，目标函数连续，所以必有 最大值和最小值。由上式可知最大值和最小值包含在上面的方程组关 于λ 的解中。以 2z C µ = 2 2 Ax By C + = − 代入前两个方程，可得 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 1 0 2 x y L A AB x y a C C L AB B x y C b C λ λ ⎧ ⎛ ⎞ ⎪ = − ⎜ ⎟ + + = ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ − + = ⎪ ⎩ ⎝ ⎠ , , 此方程组有非零解，所以系数行列式为 0。因此 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 A B A B a C b C C ⎛ ⎞ λ λ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − + ⎜ − + ⎟ − = ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 0， 即 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 2 2 1 1 a B b A λ λ 1 1 0 2 2 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − b a C λ λ 。 这个二次方程的两个根λ1与λ2就是椭圆的长半轴和短半轴的平方，因 此椭圆面积为S = π λ1λ2 ，利用多项式根与系数的关系可得 2 2 2 2 2 1 2 2 ( ) a b A B C C λ λ = + + ， 所以 167