b 42+B2 8.求z=(x4+y2)在条件x+y=a下的最小值,其中x≥0,y≥0,a为 常数。并证明不等式 解令 32=3x+y)-x8+y-a), 求偏导数,得到 L1=2x3-2=0 Ln=2y3-2=0, L2=-(x+y-a)=0, 解得x=y= 由于连续函数=(x2+y)在线段(x,y)|x+y=ax20y20的两 个端点(aaO)上的函数值有.a)=/(a0)=2212216所 以 aa、1 a4。因此 2 9.当x>0,y>0,x>0时,求函数 f(x, y, =)=Inx+ 2In y+3In 在球面x2+y2+x2=6R2上的最大值。并由此证明:当a,b,c为正实数 时,成立不等式 a+b+c 解令 L(x,y, =, A)=In x+2In y+3Inz-2(x+y 168ab 2 2 S A B C 2 C π = + + 。 8. 求 ( ) 2 1 4 4 z = x + y 在条件 x + y = a下的最小值，其中 ， ，a为 常数。并证明不等式 x ≥ 0 y ≥ 0 4 4 4 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≥ x + y x y 。 解 令 ( ) 1 4 4 ( , , ) ( ) 2 L x y λ λ = + x y − x + y − a ， 求偏导数，得到 3 3 2 0, 2 0, ( ) x y L x L y L x y a λ λ λ ⎧ = − = ⎪ ⎨ = − = ⎪ = − + − = 0, ⎩ 解得 2 a x y = = 。 由于连续函数 ( ) 2 1 4 4 z = x + y 在线段{(x y, )| x + y = ≥ a, x 0, y ≥ 0}的两 个端点(0, a a ),( ,0) 上的函数值有 1 1 4 4 (0, ) ( ,0) ( , ) 2 2 2 16 a a f a f = = a a > f = a ，所 以 4 min 1 (,) 2 2 16 a a f = f a = 。因此 4 4 4 4 1 4 2 16 2 2 x y a x a + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≥ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ y 。 9. 当 x > 0, y > 0, z > 0时，求函数 f (x, y,z) = ln x + 2ln y + 3ln z 在球面 上的最大值。并由此证明：当 为正实数 时，成立不等式 2 2 2 2 x + y + z = 6R a,b, c 2 3 ab c ≤ 6 6 108 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ a + b + c 。 解 令 2 2 2 2 L x( , y,z,λ) = + ln x 2ln y + 3ln z − λ(x + y + z − 6R )， 168