求偏导数,得到 L =0 L 2y=0 2=A=0 解得2 代入约束条件x2+y2+2=6R2,可得 R 3R 由于目标函数无最小值,所以唯一的驻点必是最大值点。于是得到 Inx+2In y+3In:(VR(2R )(3R)]=In(6VBro) 即 由前一式得到 f(R√R、√3R)=(6√3R 在后一式中令a=x2,b=y2和c=2,得到 ab2c3≤108 a+b+ 10.(1)求函数f(x,y,z)=x"y2=°(x>0,y>0,x>0)在约束条件 x4+y4+x*=1下的极大值,其中k,a,b,c均为正常数 (2)利用(1)的结果证明:对于任何正数u,,w,成立不等式 a+b+c l4+y+1 a八(b 解(1)令 L(x,y, r, 2)=alnx+bIn y+cIn=-(x+y+:-1)求偏导数，得到 1 2 0 2 2 0 3 2 0 x y z L x x L y y L z z λ λ λ ⎧ = − = ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ = − = ⎪ ⎪ ⎪ = − = ⎩ , , , 解得 2 2 1 2 3 2 2 x y z λ = = = ，代入约束条件 x 2 + y 2 + z 2 = 6R2，可得 2 2 x = R ， y 2 = 2R2， z 2 = 3R2。 由于目标函数无最小值，所以唯一的驻点必是最大值点。于是得到 3 2 2 2 2 ln x y + + 2ln 3ln z ≤ ln[ R (2R )(3R ) ] ( ) 6 = ln 6 3R ， 即 3 2 2 2 2 3 6 6 3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ≤ x y z xy z 。 由前一式得到 ( ) 6 max f = = f R( , 2R, 3R) ln 6 3R 。 在后一式中令a = x 2，b = y 2和c = z 2，得到 6 2 3 6 108 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ≤ a b c ab c 。 10 ．（ 1 ）求函数 在约束条件 下的极大值，其中 均为正常数； a b c f (x, y,z) = x y z (x > 0, y > 0,z > 0) + + = 1 k k k x y z k, a,b, c （2）利用（1）的结果证明：对于任何正数u, v,w，成立不等式 a b c c w b v a u ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ a b c a b c u v w + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + 。 解 （1）令 ( , , , ) ln ln ln ( 1) k k k L x y z λ λ = + a x b y + c z − x + y + z − ， 169