第八部分常微分方程第4页共16页 注:相应齐次方程的特征根为1,-1,所以y”-y=e的一个特解形式为axe2 y"-y=1的一个特解形式为b。根据叠加原理,原方程的一个特解形式为axe2+b,即选 项(B)正确。其他选项经检验不满足方程 18.具有特解y=ex,y2=2xex,y3=3e的三阶线性常系数齐次微分方程是 (A)y"-y”-y+y=0 (B)y"+y”-y-y=0 6y”+11y-6y=0 2y=0 答B 注:根据题意,1,-1是特征方程的两个根,且-1是重根,所以特征方程为 (-1)(4+1)2=A3+x2-2-1=0。故所求微分方程为y”+y"-y2-y=0,即选项() 正确。 19.设y1=ex,y2=x是三阶线性常系数齐次微分方程y"+ay”+by'+cy=0的两个特 解,则a,b,c的值为[] B)a=1,b=1,c=0 (C)a=-1,b=0,c=0 (D)a=1,b=0,c=0。 答C 注:根据题意,1,0是特征方程的两个根,且0是重根,所以特征方程为 (2-1)2=23-2=0。故原微分方程应为y"-y”=0,所以a=-1,b=0,c=0即选 项(C)正确 20.设二阶线性常系数齐次微分方程y”+by+y=0的每一个解y(x)都在区间(0,+∞)上 有界,则实数b的取值范围是[] (A)b≥0。(B)b≤0。(C)b≤4。①D)b≥4 答A 注:因为当b≠+2时,y(x)=C1e C ,所以,当b2第八部分 常微分方程 第 4 页 共 16 页 4 注：相应齐次方程的特征根为 1, −1 ，所以 x y  − y = e 的一个特解形式为 x axe ， y  − y = 1 的一个特解形式为 b 。根据叠加原理，原方程的一个特解形式为 axe b x + ，即选 项(B)正确。其他选项经检验不满足方程。 18. 具有特解 x x x y e , y 2xe , y 3e 1 = 2 = 3 = − − 的三阶线性常系数齐次微分方程是[ ] (A) y  − y  − y  + y = 0。 (B) y  + y  − y  − y = 0。 (C) y  − 6y  +11y  − 6y = 0。 (D) y  − 2y  − y  + 2y = 0 。 答 B 注： 根据题意， 1, −1 是特征方程的两个根，且 −1 是重根，所以特征 方程为 ( 1)( 1) 1 0 2 3 2  −  + =  +  −  − = 。故所求微分方程为 y  + y  − y  − y = 0 ，即选项(B) 正确。 19. 设 y e y x x 1 = , 2 = 是三阶线性常系数齐次微分方程 y  + ay  + by  + cy = 0 的两个特 解，则 a,b, c 的值为[ ] (A) a = 1,b = −1,c = 0。 (B) a = 1,b = 1,c = 0 。 (C) a = −1,b = 0,c = 0。 (D) a = 1,b = 0,c = 0 。 答 C 注 ： 根 据 题意 ， 1, 0 是 特 征 方 程的 两 个根 ， 且 0 是 重 根 ，所 以 特征 方 程 为 ( 1) 0 2 3 2  −  =  −  = 。故原微分方程应为 y  − y  = 0 ，所以 a = −1,b = 0,c = 0 即选 项(C)正确。 20. 设二阶线性常系数齐次微分方程 y  + by  + y = 0 的每一个解 y(x) 都在区间 (0,+) 上 有界，则实数 b 的取值范围是[ ] (A) b  0。 (B) b  0。 (C) b  4。 (D) b  4。 答 A 注：因为当 b  2 时， x b b x b b y x C e C e 2 4 2 2 4 1 2 2 ( ) − − − + − − = + ，所以，当 4 0 2 b − 