第八部分常微分方程第5页共16页 时,要想使卫()在区间(0+∞)上有界,只需要b+√b2-4≥0.b-Vb2-4≥0,即 b>2。当b2-4<0时,要想使y(x)在区间(0+∞)上有界,只需要b+√b2-4与 b-Vb2-4的实部大于等于零,即0≤b<2。当b=2时,y(x)=C1e-+C2x在区 间(0+∞)上有界。当b=-2时,y(x)=Ce2+C2xe(C12+C2≠0)在区间(0+∞)上无 界。综上所述,当且仅当b≥0时,方程y”+by+y=0的每一个解y(x)都在区间(0,+∞) 上有界,即选项(A)正确。 [解答题] 21.求微分方程x√+y2+y√+x2=0的通解 解:方程两端同乘以 得 0 1+ 此方程是一个变量分离方程,其通解为 C(C>2) 22.求微分方程+-y= 的通解 解:这是一个一阶线性微分方程,求解其相应的齐次方程 dy I y 得其通解为 令y=Cx),代入原方程,得 xc(x)-C(x), c(x) sin x 解得 C(x)=-cos x+C 所以原方程的通解为第八部分 常微分方程 第 5 页 共 16 页 5 时，要想使 y(x) 在区间 (0,+) 上有界，只需要 4 0, 4 0 2 2 b + b −  b − b −  ，即 b  2 。当 4 0 2 b −  时，要想使 y(x) 在区间 (0,+) 上有界，只需要 4 2 b + b − 与 4 2 b − b − 的实部大于等于零，即 0  b  2 。当 b = 2 时， x x y x C e C xe − − = 1 + 2 ( ) 在区 间 (0,+) 上有界。当 b = −2 时， x x y x C e C xe 1 2 ( ) = + ( 0) 2 2 2 C1 +C  在区间 (0,+) 上无 界。综上所述，当且仅当 b  0 时，方程 y  + by  + y = 0 的每一个解 y(x) 都在区间 (0,+) 上有界，即选项(A)正确。 [解答题] 21．求微分方程 1 1 0 2 2 x + y + yy  + x = 的通解。 解：方程两端同乘以 dx 1 y 1 x 2 2 + + ，得 xdx x ydy 1 1 y 0 2 2 + + + = ， 此方程是一个变量分离方程，其通解为 1 1 ( 2) 2 2 + y + + x = C C  。 22．求微分方程 dy dx x y x x + = 1 sin 的通解。 解：这是一个一阶线性微分方程，求解其相应的齐次方程 dy dx x + y = 1 0， 得其通解为 x C ln y = ln ，即 x C y = 。 令 x C x y ( ) = ，代入原方程，得 x x x C x x xC (x) C(x) ( ) sin 2 2 + =  − ， 解得 C(x) = −cos x + C 。 所以原方程的通解为