第八部分常微分方程第6页共16页 cosx+ 注:本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式,得 Sinx rdx (cos x+c) 23.求解微分方程xd-hx=yedh 解:将y看成自变量,x看成是的y函数,则原方程是关于未知函数x=x(y)的一阶线性 微分方程 此方程通解为 x=e 其中C是任意常数 24.求微分方程x2y+xy=y2满足初始条件y(1)=1的特解 解:将原方程变形,得 y-y 这是一个齐次型方程。令y=x,代入上式,得 分离变量,得 积分,得 =Cx2 2 因为y(1)=1,所以C=-1。于是所求特解为第八部分 常微分方程 第 6 页 共 16 页 6 ( cos ) 1 x C x y = − + 。 注：本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得 y x x e dx c e x x x c dx x dx =   +  = − + − ( sin ) ( cos ) 1 1 1 。 23．求解微分方程 xdy ydx y e dy y − = 2 。 解：将 y 看成自变量， x 看成是的 y 函数，则原方程是关于未知函数 x = x( y) 的一阶线性 微分方程 y ye y x dy dx − = − ， 此方程通解为 y dy y y dy y x e C ye e dy = Cy − ye          −  =  − 1 1 ， 其中 C 是任意常数。` 24．求微分方程 2 2 x y  + xy = y 满足初始条件 y(1) = 1 的特解。 解：将原方程变形，得 x y x y y  −       = 2 ， 这是一个齐次型方程。令 y = xu ，代入上式，得 xu u 2u 2  = − ， 分离变量，得 x dx u u du = − 2 2 ， 积分，得 2 2 Cx u u = − ， 即 2 2 Cx y y x = − 。 因为 y(1) = 1 ，所以 C = −1 。于是所求特解为