当质点M从点M运动到点M时,其速度由v变为v2。将式(13-22)沿路径积分,得 式中,W12为力F在路程MM2上的功。可见,质点的动能在任一路程中的变化量,等于作用于 质点上的力在该路程上所作的功。式(13-23)称为质点动能定理的积分(或有限)形式。显然, 作用力作正功时,质点的动能增加;当力作负功时,则质点动能减少。因此,动能表明由于质点 运动而具有的作功能力 2.质点系的动能定理( Theorems of kinetic energy of system of particles) 对于质点系内的任一质点,设其质量为m2,速度为v。应用质点动能定理的微分形式(13-22) dwi 将每一个质点所写出的上述方程相加,得 ∑a(m)=∑d ∑ 2/=dS1 上式成为 dt=>dw (13-24) 即质点系动能的微分等于作用于质点系上所有力的元功之和,式(13-24)称为质点系动能定理的 微分形式 若质点系在某运动过程中,起始和末了位置时的动能分别以T1、2表示,积分式(13-24)得 ∑ 即质点系在某运动过程中,动能的变化量,等于作用于质点系的所有力在各相应路程中的作功之 和。式(13-25)称为质点系动能定理的积分形式 应该注意,虽然质点系的内力系的主矢和主矩恒为零,但内力作动之和一般并不等于零。因 此,在质点系的动能定理中,应包含质点系内力的功。例如,在机器运转中,轴和轴承间的摩擦 力对整个机器而言虽属内力,但此内力却作负功而消耗机器的能量。 应用动能定理时,常将质点系的力分为主动力和约束反力。而在许多情况下,约束反力不作 功或作功之和等于零。这种约束称为理想约束( Ideal constraints)。因而,在理想约束条件下动能 定理将不包含约束反力的功。以∑W4表示所有主动力作功的代数和。则式(1325)可写成8 当质点 M 从点 M1 运动到点 M2 时，其速度由 1 v 变为 2 v 。将式（13-22）沿路径积分，得 2 2 2 1 12 1 1 2 2 mv mv W − = （13-23） 式中，W12 为力 F 在路程 M q1 2 M 上的功。可见，质点的动能在任一路程中的变化量，等于作用于 质点上的力在该路程上所作的功。式（13-23）称为质点动能定理的积分（或有限）形式。显然， 作用力作正功时，质点的动能增加；当力作负功时，则质点动能减少。因此，动能表明由于质点 运动而具有的作功能力。 2．质点系的动能定理（Theorems of kinetic energy of system of particles） 对于质点系内的任一质点，设其质量为 mi ，速度为 i v 。应用质点动能定理的微分形式（13-22）， 得 1 2 d d 2 mv W i i i ⎛ ⎞ = ′ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 将每一个质点所写出的上述方程相加，得 1 2 d d 2 mv W ii i ⎛ ⎞ = ′ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ 因 1 1 2 2 ddd 2 2 mv mv T ii ii ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠ ∑ ∑ 上式成为 d d T W = ∑ ′ （13-24） 即质点系动能的微分等于作用于质点系上所有力的元功之和，式（13-24）称为质点系动能定理的 微分形式。 若质点系在某运动过程中，起始和末了位置时的动能分别以 T1、T2 表示，积分式（13-24）得 T2 − T1 = ∑ W12 （13-25） 即质点系在某运动过程中，动能的变化量，等于作用于质点系的所有力在各相应路程中的作功之 和。式（13-25）称为质点系动能定理的积分形式。 应该注意，虽然质点系的内力系的主矢和主矩恒为零，但内力作动之和一般并不等于零。因 此，在质点系的动能定理中，应包含质点系内力的功。例如，在机器运转中，轴和轴承间的摩擦 力对整个机器而言虽属内力，但此内力却作负功而消耗机器的能量。 应用动能定理时，常将质点系的力分为主动力和约束反力。而在许多情况下，约束反力不作 功或作功之和等于零。这种约束称为理想约束（Ideal constraints）。因而，在理想约束条件下动能 定理将不包含约束反力的功。以∑ WA 表示所有主动力作功的代数和。则式（13-25）可写成