T-T W 若质点系中还有作功不等于零的反力,例如摩擦力,此时可视为主动力,而上式同样适用 3.约束反力的功 在本章第一节中,我们研究了主动力和力偶的功,下面进一步研究约束反力的功,以确定哪 些约東是理想约束,为应用动能定理提供条件。 (1)质点系和刚体内力的功设质点系内的任意二质点M1和M2,它们相互作用的内为F1 和F2,则F=-F2,当两质点分别发生元位移dr和dr2时(见图1311),这对内力元功之和为 ∑dW=Fdr+F2dn=F·d(r-)=F1dn1 式中,dr21称为质点M相对M2的元位移。可见,当质点系FM 内两点相互作用的内力连线始终与两点间的相对元位移垂直 M 时,则两力作功之和为零。当力F与dr21共线时,则 图13-11 于是,得 ∑dH=Fdh1 (13-27) 这里,dr21表示两点间距离的微小变化。在一般质点系中,由于任意两点间的距离可以变化。所 以,可变质点系内力作功之和不一定等于零。例如变形体内力功之和不等于零。 而对于刚体,其中任意两点的距离始终保持变,故刚体在任一运动过程中,所有内力作功之 和恒等于零。 对于不可伸长的柔索约束,受拉力作用时可视为刚体,故不可伸长柔索内力功之和等于零。 2)光滑接触反力的功当系统内两刚体的接触处是理想光滑时,则 接触处相互作用的力始终与相对微小位移垂直。因而,光滑的固定支承面、 轴承约束、铰链支座以及光滑的铰链约束,其约束反力作功之和都等于零, 这些约束都是理想约束 (3)滑动摩擦力的功车轮沿地面作纯滚动如图13-12所示,以轮为mmxm 研究对象,支承面的静滑动摩擦力的Fs由运动学知,接触点P为车轮的速sF 度瞬心,即v=0,由功的定义有 图13-12 Irp=SPdt=09 TT W 2 1 − = ∑ A （13-26） 若质点系中还有作功不等于零的反力，例如摩擦力，此时可视为主动力，而上式同样适用。 3．约束反力的功 在本章第一节中，我们研究了主动力和力偶的功，下面进一步研究约束反力的功，以确定哪 些约束是理想约束，为应用动能定理提供条件。 （1）质点系和刚体内力的功 设质点系内的任意二质点 M1和 M 2 ，它们相互作用的内为 F1 和 F2 ，则 F1 2 = −F ，当两质点分别发生元位移 1 dr 和 2 dr 时（见图 13-11），这对内力元功之和为 ∑d ddd d ′W =⋅ + ⋅ =⋅ − =⋅ F r F r F rr F r 1 2 2 1 1 2 1 21 ( ) 式中， 21 dr 称为质点 M1相对 M 2 的元位移。可见，当质点系 内两点相互作用的内力连线始终与两点间的相对元位移垂直 时，则两力作功之和为零。当力 F1 与 21 dr 共线时，则 2 21 21 1 21 1 21 1 1 21 21 21 d dd d 2 r F F Fr r r r Fr r ⋅= ⋅= = 于是，得 1 21 ∑d d ′W Fr = （13-27） 这里， 21 d r 表示两点间距离的微小变化。在一般质点系中，由于任意两点间的距离可以变化。所 以，可变质点系内力作功之和不一定等于零。例如变形体内力功之和不等于零。 而对于刚体，其中任意两点的距离始终保持变，故刚体在任一运动过程中，所有内力作功之 和恒等于零。 对于不可伸长的柔索约束，受拉力作用时可视为刚体，故不可伸长柔索内力功之和等于零。 （2）光滑接触反力的功 当系统内两刚体的接触处是理想光滑时，则 接触处相互作用的力始终与相对微小位移垂直。因而，光滑的固定支承面、 轴承约束、铰链支座以及光滑的铰链约束，其约束反力作功之和都等于零， 这些约束都是理想约束。 （3）滑动摩擦力的功 车轮沿地面作纯滚动如图 13-12 所示，以轮为 研究对象，支承面的静滑动摩擦力的 FS。由运动学知，接触点 P 为车轮的速 度瞬心，即 0 P v = ，由功的定义有 d d d0 W F r Fv t S P SP ′ == = r21 r2 F2 F1 r1 M2 M1 图 13-11 O dr1 dr2 P FS FN 图 13-12 v C G