所设G函数的形式为 M M2 M3 G= ∑(oeV)2+∑（x·Vu·s)2±∑(T::)2 (2) n11 n=1 m=1 式中：x为摩擦边界的摩擦力，△v为工件与工具的相对速度。v:为表面节点速度。M1 为总单元数，M2为有摩擦力的单元数，M3为有外力的表面单元数。正负号视T::值而 定，若T::>0为负，反之为正。 认为G函数中各项是泛函： Φ=vvedV+ .r…adg-Jw. (8) 中各项的平方和，使G为最小的速度场接近于使泛函中最小的速度场。设立的G函数是 一个二次函数，用Newton法求解，只须一次计算即可求得G的最小值。白光润r6)等用 有限元计算三维问题时也应用了G函数。但是，从森等所设的G函数可看出，在每个单 元中，将o、ε视为常量时才能运用。这与大多数实际问题不相符。另外，对G函数在实 际中运用时，什么条件下能得到接近真实解的初速度场，设有进行深入的讨论。 本文采用的是罚函数法，设泛函为 o-∫oay+∫s.r…ads-∫s,Tids+%(∫vdr）° 式中M是一个大的正数，称为罚函数因子，εv为体积应变速率。 在森谦一郎G函数的基础上，我们提出了罚函数的G函数。设： o=g小a)'+三(…a)广±三不ao） (6) 式中的σ、ε等均为速度的函数，这样G函数就带有普遍性。为了使(5)式对任意节点 的等参单元均能使用，本文以矩阵推导使用公式。 设}=〔B)《a,〔K)=〔B)〔B,{R}=∫T(N)d, {Q}=∫va〔B)rds(C}d,则e=(号{u}〔K){u})古 式中：〔B〕为应变矩阵；{“}为节点速度列阵，{C}为常数矩阵，在三维问题时为 (1,1,1,0,0,0)T,〔N)为形函数。 为求解轧制问题，设座标如图1所示。山图可知： {△v}=(wx-vcos0,vy,vz+vin0)T。 式中：vx、,、vz为轧件与轧辊接触面上某点的三个速度分量，v为轧辊线速度，为该 点的夹角。 59所设 函数的形式为 斌 一 － 一 － 一 艺 厂 “ 艺 · · 士 艺 一 一 卜 式 中 为摩擦边 界的摩擦力 ， △ 为工 件与工具 的相 对速度 。 。 ，为表面 节 点速 度 。 为总单元 数 为有摩擦力的单元数， 为有外力的表面单元 数 。 正负 号视 ，值而 定 ， 若 为负 ， 反 之为正 。 认 为 函数中各项是 泛 函 ， 声 犷 丘二 △·‘一 。 了一 ‘ · 中各项的平方和 ， 使 为最小 的速度场接近 于使泛 函中 最小的速度场 。 设立 的 函数 是 一个二次 函数 ， 用 法求 解 ， 只须一次计算即可求得 的最小值 。 白光润卿 等 用 有限元计算三维问题 时也应用 了 函数 。 但是 ， 从森等所设的 函数可看 出 ， 在每 个 单 元 中 ， 将 、 。 视为常量 时才能运 用 。 这与大 多数实际问题 不相符 。 另外 ， 对 函 数在实 际 中运用 时 ， 什 么 条件下能得到接近 真实解的初速度场 ， 没 有进行深 入的讨论 。 本文采 用 的是 罚函数法 ， 设泛 函 为 ， 丁 ‘ 昆 丁二 △· ‘一 。 厂一 ‘ · 一养 一 二 · ‘ 厂 式 中 是 一 个大的正 数 ， 称 为 罚函数因子 。 为体积应变速率 。 在森谦 一 郎 函数的基础上 ， 我们提 出了罚 函数的 函数 。 、， 、 ‘ 、少 崖丁 几 ￡ 厂 、 “ 瞥 ， 少 十 ， 雇 ‘ 二 · 。 艺 ” 留二二 “ … ‘别卜七、 一 、 艺 诊留二二 汽 、 二 · 厂 式 中的 、 石等均 为速度的 函数 ， 这 样 函数就带有普遍性 。 为 了使 式对任意节点 的 等参单元 均能 使用 ， 本文以 矩阵推导 使用公式 。 设 八卜 〔 。 〕 、 · ， ， 〔 、 卜 〔 〕 〔 。 〕 ， 、 卜 丁 。 式 〔 、 〕 ‘ 一 ， 丁 〔 〕 · · 一 贝。奋已 ， 、 ， 、 气 百 戈“ ， ‘ 八 ’‘ 了 ， 式 中 〔 〕 为应 变矩 阵， 。 为 节点速度 列阵 为常 数矩阵 ， 在三 维问题时为 ， ， ， ， ， 〔 〕 为形 函数 。 为求 解轧制 问题 ， 设 座标如 图 所示 。 山图可知 一 ， 。 ， ， 。 式 中 、 。 ， 、 为轧件与轧辊接触 面 上某 点的 三 个速 度分 量， 。 为轧辊线速度， 为该 点的夹 角