系,即ya,b∈A,如果(a,b)∈R就说ab具有关系R,即aRb 设A={a,b,c},试判断A上的下列二元关系是否具有自反性 对称性、反对称性和传递性: (1)R={aa)(a,b)(a,c),(c,c)};反对称,传递性 (2)R2={(a,a,(b,b)(c,c)(a,b),(b,a);自反,对称,传递性。 (3)R3={(a,a)(a,b),(b,b)(b,c)};反对称性。 (4)R={a,a),(bb,(c,c);自反,对称,反对称,传递性。 (5)R={(a,b)(a,c),(c,a)};没有各性。 从列表上看:自反性看主对角元;对称性看对其的对称等 补7.举出一个没有自反性、对称性和传递性的关系的例子 如{(a,b}(a,c),(c,a)} P53-14.证明:若集合A中的二元关系R满足:(1)a∈A,aRa (2)va,bc∈A,如果有aRb和aRc,就必有bRc,则R是等价关系。 证明有自反性;若有aRb和aRa,就必有bRa,即对称性 若有aRb就有bRa对称性)和bRc,就有aRc即传递性。所以 R是等价关系。 P53-15.有人说,二元关系R如果具有对称性和传递性,就必有 自反性,因为有aRb,就有bRa,从而有aRa,这种说法对吗? 答:不对。有aRb,就有bRa,从而有aRa,与“va,有aRa”,不 等价。 加题1在正有理数集Q={41pq∈N}中,如何定义一种二元关系 R,使(q+,R)为全序集 正有理数集和自然数集之间可否建立一个(双射)一一对应? 答:可以。Q={2(pq)=1Pq∈z+},p视为数偶(pq)将 Q中全体数依如下顺序排列: (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(16)12471116 (2,1)(2,3)(2,5)(2,7)(2,9) 3581217 (3,1)(3,2)(3,4)(35) 691318 (4,1)(4,3)(4,5) 101419 (5,1)(5,2) 1520 (6,1) 21 *题X=(0,1)和Y=[0,1数集之间可否建立一个一一对应? x∈X∩(R`Q),令x=y, x∈X∩Q,将(0,1)排序为al,a,a3.…ax+1,an+2,, 将[0,1排序为0,1,a,a-l,a 映射 f:a10,a2+→1;an1+→a1(=34…) 20设AB是两个集合,A→B,g:B→A证明:若gf是A到A的系，即 a, b A, 如果 (a, b) R, 就说 a,b 具有关系 R, 即 aRb. 设 A = {a, b, c}, 试判断 A 上的下列二元关系是否具有自反性、 对称性、反对称性和传递性： (1) R1 ={(a,a), (a,b), (a,c), (c,c)}； 反对称，传递性。 (2) R2 ={(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a)}； 自反，对称，传递性。 (3) R3 ={(a,a), (a,b), (b,b), (b,c)}； 反对称性。 (4) R4 ={(a,a), (b,b), (c,c)}； 自反，对称，反对称，传递性。 (5) R5 ={(a,b), (a,c), (c,a)}； 没有各性。 从列表上看：自反性看主对角元；对称性看对其的对称等。 补 7. 举出一个没有自反性、对称性和传递性的关系的例子. 如 {(a, b},(a, c), (c, a)} P53- 14. * 证明：若集合 A 中的二元关系 R 满足：(1)  a  A,aRa, (2)  a,b,c  A,如果有 aRb 和 aRc, 就必有 bRc, 则 R 是等价关系。 证明 有自反性；若有 aRb 和 aRa, 就必有 bRa,即对称性； 若有 aRb(就有 bRa-对称性)和 bRc, 就有 aRc 即传递性。所以， R 是等价关系。 P53-15. * 有人说, 二元关系 R`如果具有对称性和传递性, 就必有 自反性, 因为有 aRb, 就有 bRa, 从而有 aRa, 这种说法对吗？ 答：不对。有 aRb, 就有 bRa, 从而有 aRa,与“a,有 aRa”，不 等价。 加题 1.在正有理数集 { | p,q N} p q Q =  + 中, 如何定义一种二元关系 R, 使 (Q , R) + 为全序集. 正有理数集和自然数集之间可否建立一个（双射）一一对应？ 答：可以。Q+={ + p q = p qZ q p ( , ) 1, , }, p/q 视为数偶(p,q）,将 Q+中全体数依如下顺序排列： (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 1 2 4 7 11 16 (2,1) (2,3) (2,5) (2,7) (2,9) 3 5 8 12 17 (3,1) (3,2) (3,4) (3,5) 6 9 13 18 (4,1) (4,3) (4,5) 10 14 19 (5,1) (5,2) 15 20 (6,1) 21 **题 X=(0,1)和 Y=[0,1]数集之间可否建立一个一一对应？ xX(RˋQ) ,令 x＝y， xXQ,将（0,1）排序为 a1, a2, a3，ai＋1, ai+2, ， 将[0,1]排序为 0, 1, a1, ,ai－1, ai, ， 映射 0, 1; ( 3,4, ) f：a1  a2  ai+1  ai−1 i =  20 设 A,B 是两个集合, f：A→ B,g：B → A. 证明：若 gf 是 A 到 A 的