恒等映射,则∫是单射,g是满射 证明:va∈A,gf(a)=α 若存在∝1≠2,有f(a1)=f(a2),则a1=gf(x)=gf(a2)=a2,矛盾 va∈A,gf(α)=α,3β=f(a)∈B,有g(β)=α,所以g为满射 21.设A,BC是三个集合,后AB,g:B→C.证明:若gf是A 到C的双射,则∫是单射,g是满射 证明:若存在a1≠2,有f(a1)=f(a2),则gf(a1)=gf(a2),与g单 射矛盾,所以f是单射。 va∈C,由gf是满射,3β∈A,gfβ)=αx,记f)=∈B,有g(y)=a, 所以g为满射。 22.设ABCD是四个集合,fA→B,g:B→Ch:C→D.证明 若gf和hg都是双射,则/g,h也都是双射 证明:由21题,gf是双射→∫是单射,g是满射:由lg是双 射→g是单射h是满射所以g是双射,g(gff是双射,h=hggl 是双射 命题 P54-24.先用符号表示简单命题,然后用符号运算表示下列语 句(复合命题) (2)我不能既爬山(M)又划船(B 解:-(MAB) (3)如果你来了,那么他在会上发不发言就看你请不请他发言 解.P(你来),Q(他发言),R(你请他发言),命题:P→(Q∽→R) (4)占据空间的、有质量的而且不断变化的叫物质 解占据空间(S),有质量(M,不断变化(X),叫物质 (B) SAMAX≌B (5)占据空间的、有质量的叫物质,而物质是不断变化的 (S∧MB)>X (6)除非你努力否则你将失败 解努力(H失败(F),-H→F (7)某次列车不是8点开就是20点开 解P(8点开),Q(20点开),命题:-PQ台(等价于)Q P→→ (-PvQ)∨(-Q√P)(Q>P)v(P→Q) P54-25.用量词,彐表示下列语句内容 (1)数集S中任一数x都大于4而且被4整除 (vx∈S)(x>4)A(4|x) (2)数集S中有的数不大于4或不被4整除; Bx∈S)(x≤4)(41x) 3)甲班学生都很聪明且很文明或很努力且很文明(以p(x),q(x) r(x)分别表示学生很聪明、很努力、很文明,以X表示甲班学生集 (x∈X)(p∧q)v(r∧q 26.设x∈X(甲班学生集)y∈Y(乙班学生集),p(x,y表示x与y 同姓,q(x,y)表示x与y同年龄说明下列命题的含义恒等映射, 则 f 是单射, g 是满射. 证明: A, gf()= 若存在12，有 f(1)=f(2),则 1= gf(1)=gf(2)= 2,矛盾。 A, gf()=，=f()B,有 g()=,所以 g 为满射。 21 * . 设 A,B,C 是三个集合, f：A B, g：B C. 证明：若 gf 是 A 到 C 的双射, 则 f 是单射, g 是满射. 证明：若存在12，有 f(1)=f(2), 则 gf(1)=gf(2),与 gf 单 射矛盾, 所以 f 是单射。 C, 由 gf 是满射, A, gf()=，记 f()=B,有 g()=, 所以 g 为满射。 22 * . 设 A,B,C,D 是四个集合, f：A B,g：B C,h：C  D. 证明： 若 gf 和 hg 都是双射, 则 f,g,h 也都是双射. 证明：由 21 题，gf 是双射 f 是单射, g 是满射；由 hg 是双 射g 是单射,h 是满射,所以 g 是双射，g -1 (gf)=f 是双射，h=(hg)g-1 是双射. 命题 P54--24. 先用符号表示简单命题, 然后用符号运算表示下列语 句(复合命题)： （2） 我不能既爬山(M)又划船(B). 解： (MB) (3)如果你来了,那么他在会上发不发言就看你请不请他发言. 解. P(你来), Q(他发言), R(你请他发言), 命题：P→(QR). (4)占据空间的、有质量的而且不断变化的叫物质. 解 占 据 空 间 (S), 有 质 量 (M), 不 断 变 化 (X), 叫 物 质 (B) .SMXB. (5) 占据空间的、有质量的叫物质, 而物质是不断变化的. 解 (SM B )→X. (6) 除非你努力,否则你将失败. 解 努力(H),失败(F), H→F. (7) 某次列车不是 8 点开就是 20 点开. 解 P(8 点开), Q(20 点开), 命题：P  Q (等价于)Q  P (P Q) (QP)  (Q→P)  (P→Q) P54-25．用量词, 表示下列语句内容： (1) 数集 S 中任一数 x 都大于 4 而且被 4 整除； (xS)[(x>4) (4x)] (2) 数集 S 中有的数不大于 4 或不被 4 整除； (xS)[(x4) (4╢x)] (3) 甲班学生都很聪明且很文明或很努力且很文明( 以 p(x), q(x), r(x) 分别表示学生很聪明、很努力、很文明, 以 X 表示甲班学生集； (xX)[(pq)  (rq)] 26．设 x  X (甲班学生集), y Y (乙班学生集), p(x, y)表示 x 与 y 同姓, q(x, y)表示 x 与 y 同年龄.说明下列命题的含义：