证因为4p,=入P,Ap2=入2P2且1≠ 所以xP,'p=P'P=p,Ap,=pA'p =(4p2)'卫=(0P)'p1=入，P2p 从而 (01-入2)P2p=0 但入，≠入2，故卫，P2=0,即p与P2正交 定理7设A为阶对称矩阵，入是A的特征方程的r重根 则矩阵A一入E的秩R(A一E)=n一r,从而对应特征值入恰有r 个线性无关的特征向量，证 1 1 1 2 2 2 1 2 因为Ap =  p , Ap =  p .且   1 1 T 1 2 T 1 2 所以 p p = p  p 1 T T 1 2 T 2 = p Ap = p A p 1 T 1 2 2 T 1 2 2 T 2 = (Ap ) p = ( p ) p =  p p 定理7 设 A为 n阶对称矩阵,λ是A的特征方程的r重根, 则矩阵A－λ E的秩R(A－λE)=n－r,从而对应特征值λ恰有r 个线性无关的特征向量. T 1 2 2 1 从而 (λ λ ) 0 − = p p T 1 2 1 2 1 2 但 故 即 与 正交 λ λ , 0, .  = p p p p