定理8设A为阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使 P1AP=Λ 其中A是以A的个特征值为对角元素的对角矩阵， 证设4的互不相等的特征值为入1，入2，…，入，？ 它们的重数依次为了，，，了，(G+3+…十r=) 根据定理5及定理7知，对应特征值入，(i=1,2,S), 恰有个线性无关的实特征向量，把它们施密特标准正交化 即得r个两两正交单位特征向量。由斯+5十…+r,三n, 知这样的特征向量共可得n个 按定理6知对应于不同特征值的特征向量正交，故这n 个单位特征向量两两正交。于是以它们为列向量构成正 交矩阵P,并有 定理8 设A为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵P，使 P-1AP=Λ 其中Λ是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵. 证 设 A的互不相等的特征值为 , , , , 1 2  s 它们的重数依次为 根据定理5及定理7知,对应特征值 (i 1,2, s), i =  恰有ri 个线性无关的实特征向量， 把它们施密特标准正交化, , , , ( ). r1 r2  rs r1 + r2 ++ rs = n , 由r1 + r2 ++ rs = n 知这样的特征向量共可得n个. 按定理6知对应于不同特征值的特征向量正交,故这 n 个单位特征向量两两正交 。于是以它们为列向量构成正 交矩阵P,并有 即得ri 个两两正交单位特征向量