杨海波等：金属压力加工问题的流函数速度模式上限解 ·89· 3.2.2附加流函数Φ(x1,X2,a) 由Weirstrass定理，附加流函数中可由函数序列∑∑amnx严x;来一致逼近.考虑到 附加速度场应满足齐次速度边界条件，上述函数序列应乘上因子Q,Q,“,Q；Q(= 1,2,…,n)由齐次速度边界条件确定.于是Φ取为 0(x1,x2,ama)=Q1·Q2Qa∑∑amnxTx (15) 3.2.3完全流函数0(X1,×2,amm) 由D6(X1,x,)与(x,X2,am)叠加合成为完全流函数0*(x,x2,amn) D*(X1,x,amn)=d6(X,x,）+(x1,X2,aan） (16) ①(x1,x2,mn)确定的速度场是完备的，即Φ“确定的速度场一定包含真实速度场， 4 完备运动可能速度场的“力学边界条件” 针对W对U:并不敏感，为保证在使W。极小化过程中速度场能够充分地接近真实速度 场，除首先应构造一个包含全部运动可能速度场的完备速度场族外，还应寻求进一步措施· 对于发生塑性变形的理想刚塑性材料，其本构关系由Levy一Miss方程确定 =(2T/H) (17) 式中H为应变速率强度，T为剪应力强度，由式(17)可见，由速度场根据几何方程确定的 应变速率场对应着一个偏应力场σ 在变形区边界上某一点M(x,x,外法线方向n=(cos8,sin),设该点处给定切应力为 t(一般为摩擦力)，而该点处与应力场相对应的切应力*可被表示为 t*=(o1-022)sin20/2-012c0s20 (18) 而应力场0，可表示为由一偏应力场σ和一静水压力场δ，0m合成，即 01=0+δ，0m (19) 式中δ为克罗内克尔记号· 将式(19)代入(18)，整理得 t=(oi,-52)sin28/2-g12c0s28 (20) 当所求速度场为真时，应有τ=τ 将几何方程及式（17)代人式(20)，并考虑到条件t*=π∴，整理得 (aU,/x,-a0,/x)sin20-(d,/x,+c02/x)cos20=(H/T)·t(21) 式(21)为运动可能速度场应满足的力学边界条件式.在极小化耗散功率W。、由运动 可能速度场族寻求真实速度场的过程中，这一条件将以约束的形式参加寻优，所以称式 (21)为速度场“边界切应力约束”条件.它将确保和加速运动可能速度场向真实速度场通近· 5应力场和静水压力场的求解 由式(17)和式(19)可见，在运动可能速度场U确定后，求解应力场σ，的问题就归杨海波等 金 属压 力加工间题的 流函数速度模式上限 解 : 2 2 附 加流 函数 。 李 . . ( 3 , x , x Z , a 二 由 w ie sr atr s s 定 理 , 附 加 流 函数 。 李可 由函 数序 列 工艺 a m n x 子 x 翌来一 致 逼 近 . 考 虑 到 附 加 速 度 场 应满 足 齐次 速 度 边 界 条 件 , 上 述 函 数序 列 应 乘上 因 子 Q , , Q Z , … , Q 。 ; Q l i( = 1 , 2 , … , n ) 由 齐次 速 度边 界 条 件 确定 . 于 是 中 李取 为 中 }( x l , x Z , a m n ) = Q l · Q Z … Q n 艺艺 a m n x 于 x 全 ( 15 ) .3 .2 3 完 全流 函数 。 “ ( x , , x Z , a 。 。 ) 由 小告( x 、 , x Z ) 与 巾李( x . , x Z , a m n ) 叠 加 合 成 为完 全 流 函 数 中 k ( x l , x Z , a m n ) 。 k ( x 卜 x Z , a o n ) 二 中 轰( x l , x Z ) + 中李( x l , x Z , a m n ) ( 16 ) 中 “ x( 1 , x Z , a m n ) 确 定 的速 度 场 是 完 备 的 , 即 。 “ 确 定 的速 度 场 一 定 包 含 真 实 速度 场 . 4 完 备运动 可能速 度 场 的 “ 力 学边 界条件 ” 针 对 w 告对 U {并不敏 感 , 为保证 在使 w 轰极小 化过 程 中速度场 能够 充分地接近 真实速度 场 , 除 首 先应构造 一个 包含 全部 运动可 能速 度场 的完备 速度 场族外 , 还 应寻求 进一 步措 施 . 对 于发 生塑性 变形 的理想 刚塑性 材料 , 其本 构 关系 由 玫vy 一 M毗 方 程确定 ` : 』 = ( Z T / H ) 宕 , J ( 17 ) 式 中 H 为 应变速 率强 度 , T 为剪应力 强度 . 由式 ( 17 ) 可见 , 由速 度场 根据 几何方 程确定 的 应变 速 率场 氛 J 对应着 一个偏 应力 场 试 J . 在 变形 区 边界 上某 一点 M ( x 、 , x Z ) , 外 法线方 向五= ( co s o , s in o) , 设该 点处给定 切应力 为 : ’ ( 一般 为摩 擦力 ) , 而 该点 处 与应力 场相对应 的切 应力 : “ 可被 表示 为 : k = ( 。 ! , 一 。 2 2 ) 5 i n Z口 / 2 一 a l Z e o s 2 8 ( 1 8) 而应 力场 a ,。 可表示 为 由一偏 应力 场 :aj 和 一静水 压力 场 占 , 」a 。 合成 , 即 a ,」二 “ 几+ 占 ,」“ m ( 19 ) 式 中 占i 」 为克罗 内克 尔记 号 . 将式 ( 19 ) 代入 ( 18 ) , 整理 得 : ’ = ( a ; , 一 。 三 2 ) 5 i n Z口/ 2 一 。 1 2 e o s Z口 (2 O) 当所求速度场 为真 时 , 应有 : “ 二 : ., 将 几何方 程及式 ( 17 ) 代 人式 ( 20 ) , 并 考虑到 条件 : “ = : ` , 整理 得 ( 刁亡 , /日x l 一 刁亡 2 /日x Z ) 5 i n Z o 一 (刁亡 : /日x Z + 日亡 2 /日x l ) e o s Zo = ( H / T ) · T ` (2 l ) 式 (2 l) 为运动可能 速度 场应 满足 的力学 边界 条件式 . 在极小 化耗 散功 率 w 轰 、 由运 动 可 能 速度 场族 寻求 真 实 速 度 场 的 过 程 中 , 这 一 条 件 将 以 约 束 的形 式 参加 寻 优 , 所 以 称 式 ( 21 ) 为速度 场 “ 边界 切应 力约束 ’ 条 件 . 它将确保和加速运动可能速度场 向真实速度场逼近 . 5 应 力场和静水 压 力场 的求解 由式 ( 17 ) 和 式 ( 19) 可见 , 在 运动可 能速 度场 U 卜确定后 , 求 解应 力场 a 1 ) 的问题 就归