《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海市大学数学系 定理21.1平面有界图形P可求面积的充要条件是：对任给的ε>0，总存 在直线网T,使得 S(T)-s(T)<E.(2) 证明[必要性]设平面有界图形P的面积为lp.由定义1，有I=Ip=1p.对 任给的6，由1•及Ip的定义知道，分别存在直线网T与T,使得 小-气s)k+号 记T为由T与工这两个直线网合并的直线网，可证得 s(T)ss(T).S,T)2S,(T). (3) 于是由(3)可得 ,)>1,-号s,+号， 从而得到对直线网T有S,)-5,)水6， [充分性]对任给的￡>0，存在直线网T,使得(2)式成立.但 sp(T)≤Ip≤1p≤S(T). 所以ip-Lp≤S(T)sn(T)<6, 由的任意性，因此LP=IP,因而平面图形P可求面积. 推论平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外面积'，=0，即对任 给的6>0，存在直线网T,使得， S(T)<E. 或对任给的ε>0，平面图形P能被有限个其面积总和小于￡的小矩形所覆盖. 定理21.2平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零。 证明由定理21.1，P可求面积的充要条件是：对任给的6>0，存在直线 网T,使得S,)-n)<6.由于 Sk(T)=Sp(T)-5p(T)<E. 所以也有Sx)<6.由上述推论，P的边界K的面积为零。 《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 2 定理 21.1 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是：对任给的   0 ，总存 在直线网 T ，使得 S (T)− s (T)   P P . （2） 证明 [必要性]设平面有界图形 P 的面积为 P I ．由定义 1，有 P I = P I = I P ．对 任给的  ，由 I P 及 P I 的定义知道，分别存在直线网 T1 与 T2 ，使得 ( ) , 2 1  sP T  I P − ( ) 2 2  S P T  I P + ， 记 T 为由 T1 与 T2 这两个直线网合并的直线网，可证得 s (T ) s (T) P 1  P ， S (T ) S (T) P 2  P ， (3) 于是由（3）可得 ( ) , 2  sP T  I P − ( ) 2  S P T  I P + ， 从而得到对直线网 T 有 S (T)− s (T)   P P ， [充分性]对任给的   0 ，存在直线网 T ，使得（2）式成立．但 s (T ) I I S (T ) P P P  P   ， 所以 I − I  S (T )− s (T )   P P P P ， 由  的任意性，因此 P I = I P ，因而平面图形 P 可求面积． 推论 平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它的外面积 I P = 0 ，即对任 给的   0 ，存在直线网 T ，使得， S (T)   P ， 或对任给的   0 ，平面图形 P 能被有限个其面积总和小于  的小矩形所覆盖． 定理 21.2 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是：P 的边界 K 的面积为零． 证明 由定理 21．1，P 可求面积的充要条件是：对任给的   0 ，存在直线 网 T ，使得 S (T)− s (T)   P P ．由于 SK (T) = S (T)− s (T)   P P ， 所以也有 S (T)   K ．由上述推论，P 的边界 K 的面积为零．