《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 定理21.3若曲线K为由定义在a,司上的连续函数)的图象，则曲线K 的面积为零 正明由于)在闭区间血，月]上连续函数，从而一致连续。因而对任给的 6>0,总存在6>0，当把区间a,月分成n个小区间x]北=L.,川并且满足 mx,=x-x.=L,n<6时，可使在每个小区间x]上的振幅都成立 0,6二。.现把曲线K按自变量=。，.。分成n个小段，这时每一个小段 都能被以△灯，为宽，为高的小矩形甩覆盖.由于这个小矩形面积的总和为 所以由定理21.1的推论即得曲线K的面积为零 还可证明得到：由参量方程x=),Y=a≤1≤)所表示的光滑曲线或 按段光滑曲线，其面积为零 二、二重积分的定义及其存在性 背景：求某曲顶柱体的体积时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤， 利用求柱体的体积的方法来得到结果.一类大量的“非均匀”问题都采用类似的 方法，从而归结出下面一类积分的定义. 定义设K,是定义在可求面积的有 界闭区域D上的函数，用任意曲线把D分 成”个可求面积的小区域： △01，△02，A0a以△0，表示△c1的 面积，这些小区域构成D的一个分割T, 以4表示“的直径，称门=，}为分 T的细度，在每一个上任取-点（气几。作和式：空%A0 称之为函数在上属于分割的一个积分和.《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 3 定理 21.3 若曲线 K 为由定义在 a,b 上的连续函数 f (x) 的图象，则曲线 K 的面积为零 证明 由于 f (x) 在闭区间 a,b 上连续函数，从而一致连续．因而对任给的   0 ，总存在   0 ，当把区间 a,b 分成 n 个小区间   i i x , x −1 (i =1,  ,n) 并且满足 maxxi = xi − xi−1 i =1,  ,n  时，可使在每个小区间   i i x , x −1 上的振幅都成立 b a i −    ．现把曲线 K 按自变量 n x x , x , , x = 0 1  分成 n 个小段，这时每一个小段 都能被以 i x 为宽，  i 为高的小矩形甩覆盖．由于这个小矩形面积的总和为   = =  = −   n i n i i i i x b a x 1 1    ， 所以由定理 21．1 的推论即得曲线 K 的面积为零． 还可证明得到：由参量方程 x =(t),Y =(t)(  t  ) 所表示的光滑曲线或 按段光滑曲线，其面积为零． 二、 二重积分的定义及其存在性 背景：求某曲顶柱体的体积时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤， 利用求柱体的体积的方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的 方法，从而归结出下面一类积分的定义． 定义 设 f (x, y) 是定义在可求面积的有 界闭区域 D 上的函数，用任意曲线把 D 分 成 n 个 可 求 面 积 的 小 区 域 ： , , , ,  1  2   n 以  i 表 示  i 的 面积，这些小区域构成 D 的一个分割 T ， 以 i d 表示  i 的直径，称  i i n T d   = 1 max 为分 割 T 的细度，在每一个  i 上任取一点（  i i , ），作和式： =  n i i i i f 1 ( , )  ， 称之为函数在上属于分割的一个积分和．