《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海市大学数学系 定义2设心（川是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数，J是一个确 定的数，若对任给的正数E,总存在某个正数8，使对于D的任何分割T,当它 的细度门<⊙时，属于T的所有积分和都有 空Gn4a,-小<e 则称，)在D上可积，数J称为函数：，在D上的二重积分，记作 o 其中x,)称为二重积分的被积函数，x,y称为积分变量，D称为积分区域. 几何意义：当化小上0时，二重积分在加 在几何上表示以：=，) 为曲项，D为底的曲顶柱体的体积。 ∬，o∬f,杰 直角坐标系下可表示为： 可积的必要条件：f,)在可求面积的区域D上有界 函数飞，)在可求面积的区域D上有界时，T是D的一个分割，把D分成个 可求面积的小区域C.,0,令 M=2f列%=f川，6=l f,)关于分割T的上和与下和： s)-2M,aa,）-2maa 定理21.4化，)在D上可积的充要条件是 s)肥s)） 定理21.5化，)在D上可积的充要条件是：对于任给的正数e,存在D 的某个分割T,使得ST)-T)<6, 定理21.6有界闭区域D上的连续函数必可积。 定理21.7设心川是定义在有界闭区域D上的有界函数。若心，川的不 《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 4 定义 2 设 f (x, y) 是定义在可求面积的有界闭区域 D 上的函数， J 是一个确 定的数，若对任给的正数  ，总存在某个正数  ，使对于 D 的任何分割 T ，当它 的细度 T   时，属于 T 的所有积分和都有     −   = f J N i i i i 1 ( , ) ， 则称 f (x, y) 在 D 上可积，数 J 称为函数 f (x, y) 在 D 上的二重积分，记作 J = ( )  D f x, y d ， 其中 f (x, y) 称为二重积分的被积函数， x, y 称为积分变量， D 称为积分区域． 几何意义：当 f (x, y)  0 时，二重积分 ( )  D f x, y d 在几何上表示以 z = f (x, y) 为曲顶， D 为底的曲顶柱体的体积. 直角坐标系下可表示为： ( )  D f x, y d = ( )  D f x, y dxdy . 可积的必要条件： f (x, y) 在可求面积的区域 D 上有界 函数 f (x, y) 在可求面积的区域 D 上有界时，T 是 D 的一个分割，把 D 分成个 可求面积的小区域   n , , 1  ，令 ( ) M f (x y) i x y i sup , ,  = ， ( ) m f (x y) i x y i inf , ,  = ，(i =1,  ,n) f (x, y) 关于分割 T 的上和与下和： ( ) = =  N I S T Mi  i , ( ) = =  N I T mi i s  . 定理 21.4 f (x, y) 在 D 上可积的充要条件是： S(T ) T 0 lim → = s(T ) T 0 lim → . 定理 21.5 f (x, y) 在 D 上可积的充要条件是：对于任给的正数  ，存在 D 的某个分割 T ，使得 S(T)− s(T)   ． 定理 21.6 有界闭区域 D 上的连续函数必可积． 定理 21.7 设 f (x, y) 是定义在有界闭区域 D 上的有界函数．若 f (x, y) 的不