《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 连续点都落在有限条光滑曲线上，则：以在D上可积 证明不失一般性，可设代，)的不连续点全部落在某一条光滑曲线L 上.记L的长度为l,于是对任给的60，把L等分成”+'段。 L,.,Ln, 在每段L上取一点P,使段与其一端点的弧长为2m,以P为中心作边长为的 正方形4，则4E心，从面有-0△包AcA,则A为一多边形.设A的 面积为W,那么 wsar卧少任少-水 现在把区域D分成两部分.第一部分D=Dn△.第二部分D:=D-D.由于 f心(，川在D,上连续，根据定理21.6与定理21.5，存在D,的分割工，使得 St)-st)<6.又记 M,=即列，m=成k》,以T表示由5与 多边形△的边界所组成的区域D的分割，则有 ST)）-sT)<SG)-s】+[M,W-m,W刚]<s+sW <s+(1+8o=(1+10+50 其中0是，)在D上的振幅。由于)在D上有界，故@是有限值.于是 由定理21,5就证明了k,以在上可积. 三、二重积分的性质 二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下： 1.若x,)在区域D上可积，k为常数，则kf:,川在D上也可积，且 ∬fx,ydo,f∬fx,yao =k D 2.若f川，8川在D上都可积，则心，川±8化川在D上也可积，且 ,壮g,o∬f6,o,∬go 5《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 5 连续点都落在有限条光滑曲线上，则 f (x, y) 在 D 上可积. 证明 不失一般性，可设 f (x, y) 的不连续点全部落在某一条光滑曲线 L 上．记 L 的长度为 l ，于是对任给的  >0，把 L 等分成 +1       =  l n 段： L Ln , , 1  ， 在每段 Li 上取—点 Pi ，使段与其一端点的弧长为 n l 2 ，以 Pi 为中心作边长为  的 正方形 i ，则 Li  i ，从而有  n i L i =1   记  n i i =1    ，则  为一多边形．设  的 面积为 W ，那么  (  )      = +       +         +       = l l l W n 2 2 2 1 1 ， 现在把区域 D 分成两部分．第一部分 D1 = D  ．第二部分 D21 = D − D1 ．由于 f (x, y) 在 D2 上连续，根据定理 21.6 与定理 21.5，存在 D2 的分割 T2 ，使得 ( )− ( )   2 T2 S T s ．又记 ( ) M f (x y) x y sup , ,   = ， ( ) m f (x y) x y inf , ,   = ，以 T 表示由 T2 与 多边形  的边界所组成的区域 D 的分割，则有 S(T)− s(T)  S(T2 )− s(T2 )+MW − mW  +W ．   + (l + ) = (1+ l +) ， 其中  是 f (x, y) 在 D 上的振幅．由于 f (x, y) 在 D 上有界，故  是有限值．于是 由定理 21，5 就证明了 f (x, y) 在上可积. 三、二重积分的性质 二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下： 1. 若 f (x, y) 在区域 D 上可积， k 为常数，则 k f (x, y) 在 D 上也可积，且 ( )  D kf x, y d = k ( )  D f x, y d ． 2．若 f (x, y), g(x, y) 在 D 上都可积，则 f (x, y) ± g(x, y) 在 D 上也可积，且  ( ) ( )   D f x, y g x, y d = ( )  D f x, y d ± ( )  D g x, y d