·1050 工程科学学报，第42卷，第8期 式(1)描述了声音传播过程中，声压与传播距 统动力学参数决定.因此，声音信号的幅值衰减因 离及声源频率的关系，声音信号中声源频率成分 子CoJo(wr/co)可近似为常数.结合行星齿轮箱振 保持不变，但幅值在传播过程中逐渐衰减，衰减形 动信号的调制形式，由振动产生的对外辐射的 式如式(2)所示.幅值衰减因子CoJ6(wr/co)可用来 声音信号可表示为： 描述声音信号的幅值衰减.当行星齿轮箱齿轮出 p(0=C×{1+a1cos2π∫f()d 现故障时，故障齿轮在运行过程中与其他齿轮啮 合产生冲击，激发齿轮箱共振.在系统阻尼作用 {1+acos[2m∫斤(0d+i]}× 下，共振迅速衰减，又在后续冲击激励下重复出 Acos2π∫fndr+a3sin2π∫f斤()dt+2+ 现，对共振频率产生幅值调制和频率调制作用.这 (3) 种重复出现的共振产生声音辐射，因此声音信号 其中，C为幅值因子，A代表共振信号强度，a1、a2 在共振频带包含齿轮故障特征信息.通常，近场声 为幅值调制系数，3为频率调制系数，1、2和3 源的声音信号采集时，声音传感器的位置相对于 为对应的初始相位.对(3)进行Fourier变换展开， 声源距离较近且固定不变，加之共振频率仅受系 得到声音信号内含有的特征频率结构为： P=AC足aagl6-后-mfiexpl6(m+今+受16[f-五-mf0-斤exp(2+s+小+ 6f-f后-mf斤(0+f创exp[j(m+-1)+216[f-后-m斤0-无(expi6mo+s】+ 5f-f-mf ()+f()]explj(m2++(6[f-fa-mfi()-fr()-fi()]explj(m2++ 6[f-f后-mfi(t)+f斤()+(]expj0m2+3-1】+6f-f后-mf斤()-f斤(i)+f(t]exp(m2+3+1】+ 6[f-f后-mf斤(i)+f斤()-f(t]expj(mp2+3-中1J} (4) 式中，m代表Bessel函数展开的阶数，fm为共振频 分析方法之一，其本质是加窗的Fourier变换.对 率，()为太阳轮旋转频率或行星架旋转频率（太 于一个有限能量信号x(①)，其STFT的表达式为： 阳轮或行星轮出现故障时由于传递路径的时变现 STFT,(.f)=Jx()g(I-r)e-2x/dr (5) 象产生的调制频率，因齿圈固定，当齿圈故障时此 项可略去)，()为故障特征频率，Jm()为第一类 其中，τ为时间单位，gt-)为窗函数.由于窗函数 Bessel函数，6()为Dirac函数 尺寸固定，其时频分辨能力固定，在Heisenberg不 根据(4)可总结出时变转速工况下行星齿轮 确定性的制约下，难以同时得到复杂多变的瞬时 箱齿轮故障时声音信号的时变故障频率特征：在 频率细节的最佳表达 太阳轮故障条件下，声音信号的共振频带内存 基于短时Fourier变换的同步压缩变换方法 在分布于共振频率f两侧的、间隔为太阳轮故障 (FSST)的关键思想是通过对瞬时频率进行精确估 特征频率f()和太阳轮旋转频率（①的组合的一 计，从而在频率方向上对时频能量进行重分配， 系列时变边带成分，即n±m()±nf()(其中 FSST方法中，瞬时频率可根据短时Fourier变换的 m,n=0,1,2代表公式4中的阶数，下同)：在行星 时频分布STFTx(t,f)计算为： 轮故障条件下，声音信号共振频带内存在与共 振频率后间隔为行星轮故障特征频率斤()和行 ,=2云0.argISTFT(.1=然{2sTeT.} \2njSTFTx(t,f) 星架旋转频率无()的组合的时变边带，即 (6) f±mf()±nf():在齿圈故障条件下，声音信号的 其中，R表示实数部分，基于此得到ST℉T频率 共振频带内存在与共振频率f间隔为齿圈故障特 重分配后的FSST结果为： 征频率f()的时变边带±mi().其中，故障特征 1 Tx(t,@)= 频率对称分布在共振频率f两侧，可根据声音信号 (OJSTFT(.6-(.df (7) 的时变边带对称中心定位共振频率，并可通过识 其中，g0)为窗函数，由(7)可知，通过将频率方向上 别时变边带信息，有效检测及定位齿轮故障 能量模糊压缩到瞬时频率脊线附近，可有效提高时 频聚集性，有利于准确识别变化的瞬时频率特征. 2高阶同步压缩变换 然而，虽然FSST提高了时频分布的频域聚集 短时Fourier变换(STFT)是最为常用的时频 性，但由于仅在频率方向上进行重分配，时域的能C0 J0 (ωr/c0) 式（1）描述了声音传播过程中，声压与传播距 离及声源频率的关系，声音信号中声源频率成分 保持不变，但幅值在传播过程中逐渐衰减，衰减形 式如式（2）所示. 幅值衰减因子 可用来 描述声音信号的幅值衰减. 当行星齿轮箱齿轮出 现故障时，故障齿轮在运行过程中与其他齿轮啮 合产生冲击，激发齿轮箱共振. 在系统阻尼作用 下，共振迅速衰减，又在后续冲击激励下重复出 现，对共振频率产生幅值调制和频率调制作用. 这 种重复出现的共振产生声音辐射，因此声音信号 在共振频带包含齿轮故障特征信息. 通常，近场声 源的声音信号采集时，声音传感器的位置相对于 声源距离较近且固定不变，加之共振频率仅受系 C0 J0 (ωr/c0) 统动力学参数决定. 因此，声音信号的幅值衰减因 子 可近似为常数. 结合行星齿轮箱振 动信号的调制形式[12] ，由振动产生的对外辐射的 声音信号可表示为： p(t) = C × { 1+a1 cos[ 2π r ft(t)dt ]} { 1+a2 cos[ 2π r ff (t)dt+ϕ1 ]} × Acos[ 2π r fndt+a3 sin[ 2π r ff (t)dt+ϕ2 ] +ϕ3 ] （3） 其中，C 为幅值因子，A 代表共振信号强度，a1、a2 为幅值调制系数，a3 为频率调制系数，ϕ1、ϕ2 和 ϕ3 为对应的初始相位. 对（3）进行 Fourier 变换展开， 得到声音信号内含有的特征频率结构为： P(f) = AC ∑∞ m=−∞ Jm (a3) { δ [ f − fn −m ff (t) ] exp[ j(mϕ2 +ϕ3) ] + a2 2 { δ [ f − fn −m ff (t)− ff (t) ] exp[ j(mϕ2 +ϕ3 +ϕ1) ] + δ [ f − fn −m ff (t)+ ff (t) ] exp[ j(mϕ2 +ϕ3 −ϕ1) ]}+ a1 2 { δ [ f − fn −m ff (t)− ft(t) ] exp[ j(mϕ2 +ϕ3) ] + δ [ f − fn −m ff (t)+ ft(t) ] exp[ j(mϕ2 +ϕ3) ]}+ a1a2 4 { δ [ f − fn −m ff (t)− ff (t)− ft(t) ] exp[ j(mϕ2 +ϕ3 +ϕ1) ] + δ [ f − fn −m ff (t)+ ff (t)+ ft(t) ] exp[ j(mϕ2 +ϕ3 −ϕ1) ] +δ [ f − fn −m ff (t)− ff (t)+ ft(t) ] exp[ j(mϕ2 +ϕ3 +ϕ1) ] + δ [ f − fn −m ff (t)+ ff (t)− ft(t) ] exp[ j(mϕ2 +ϕ3 −ϕ1) ]}} （4） fn ft(t) ff (t) Jm (·) δ(·) 式中，m 代表 Bessel 函数展开的阶数， 为共振频 率， 为太阳轮旋转频率或行星架旋转频率（太 阳轮或行星轮出现故障时由于传递路径的时变现 象产生的调制频率，因齿圈固定，当齿圈故障时此 项可略去）， 为故障特征频率， 为第一类 Bessel 函数， 为 Dirac 函数. fn ff (t) ft(t) fn ±m ff (t)±n ft(t) m,n = 0,1,2··· fn ff (t) ft(t) fn ±m ff (t)±n ft(t) fn ff (t) fn ±m ff (t) fn 根据（4）可总结出时变转速工况下行星齿轮 箱齿轮故障时声音信号的时变故障频率特征：在 太阳轮故障条件下，声音信号的共振频带内存 在分布于共振频率 两侧的、间隔为太阳轮故障 特征频率 和太阳轮旋转频率 的组合的一 系 列 时 变 边 带 成 分 ， 即 （ 其 中 代表公式 4 中的阶数，下同）；在行星 轮故障条件下，声音信号共振频带内存在与共 振频率 间隔为行星轮故障特征频率 和行 星 架 旋 转 频 率 的 组 合 的 时 变 边 带 ， 即 ；在齿圈故障条件下，声音信号的 共振频带内存在与共振频率 间隔为齿圈故障特 征频率 的时变边带 . 其中，故障特征 频率对称分布在共振频率 两侧，可根据声音信号 的时变边带对称中心定位共振频率，并可通过识 别时变边带信息，有效检测及定位齿轮故障. 2    高阶同步压缩变换 短时 Fourier 变换（STFT）是最为常用的时频 x (t) 分析方法之一，其本质是加窗的 Fourier 变换. 对 于一个有限能量信号 ，其 STFT 的表达式为： STFTx(t, f) = w R x (τ)g(t−τ)e −j2π f τ dτ （5） 其中，τ为时间单位， g(t−τ) 为窗函数. 由于窗函数 尺寸固定，其时频分辨能力固定，在 Heisenberg 不 确定性的制约下，难以同时得到复杂多变的瞬时 频率细节的最佳表达. STFTx (t, f) 基于短时 Fourier 变换的同步压缩变换方法 （FSST）的关键思想是通过对瞬时频率进行精确估 计，从而在频率方向上对时频能量进行重分配， FSST 方法中，瞬时频率可根据短时 Fourier 变换的 时频分布 计算为： bωx (t, f) = 1 2π ∂t arg{STFTx (t, f)} = ℜ { ∂tSTFTx (t, f) 2πjSTFTx (t, f) } （6） 其中， ℜ{·} 表示实数部分，基于此得到 STFT 频率 重分配后的 FSST 结果为： Tx (t,ω) = 1 g(0) w R STFTx (t, f)δ ( ω−bωx (t, f) ) d f （7） 其中，g(0) 为窗函数，由（7）可知，通过将频率方向上 能量模糊压缩到瞬时频率脊线附近，可有效提高时 频聚集性，有利于准确识别变化的瞬时频率特征. 然而，虽然 FSST 提高了时频分布的频域聚集 性，但由于仅在频率方向上进行重分配，时域的能 · 1050 · 工程科学学报，第 42 卷，第 8 期