张郑武等：基于高阶同步压缩变换的行星齿轮箱声音信号共振频带特征提取 1051· 量溢出现象未得到有效解决，依然存在时频模糊 12中的阶数)递归求得 问题.为了克服这个不足，基于更精确的瞬时频率 类似于FSST2,FSSTN的表达式为： 估计的二阶同步压缩变换(FSST2)被提出2.FSST2 1 TN.f(t,@)=- [STFT:(t.f)6(@-@IN(t.f))df 首先定义一个二阶局部调制系数： g(0)J (13) x(t,f月= arox(t,f月 (8) aix(t,f月) 利用FSSTN方法，可以获得更加精确的瞬时 8fSTFTx(t.f) a,STFTx(t.f) 频率估计，从而有效抑制时频模糊现象，使时频分 ix(亿，f)=t- 2元jSTFTx(t,f力 .@Wx(t.f)= 2πiSTFT(t,f) 布的可读性进一步提高.根据实际应用需求，本文 (9) 采用四阶同步压缩变换(FSST4),即取N=4 该调制系数为FSST瞬时频率估计(6)对时间t的 3仿真信号分析 一阶导数.则二阶瞬时频率估计可表达为： (t.f)=@.(t.f+q(t.f(t-i(t.S) (10) 在本节中，通过对时变转速工况下行星齿轮 箱声音信号进行仿真分析，验证前文总结的时变 因而，信号x()的二阶同步压缩变换如下： 故障特征规律形式，并验证FSST4方法提取共振 1 T(-STFT,(.o-(ay 频带内故障特征的有效性.以太阳轮故障为例，由 (11) 式(3)可得声音信号模型如下： 其中，么，f为么，f)的实部 s0=Ch-cos[2∫f0d1+acos2m∫f0d+l FSST2被证明能够提高具有高斯幅值调制信 cos{2πfnd+Bsin2π∫天()dt+d+5() 号的时频分布的效果.Pham和Meignen24针对其 (14) 他更为复杂的快速变化频率信号，进一步提出了 式中，f为行星齿轮箱共振频率，(0为太阳轮旋 具有更为通用形式的高阶同步压缩变换方法 转频率，5()为太阳轮故障特征频率，取初始相位 (FSSTN).FSSTN基于信号的幅值与相位的泰勒 中=0=0，共振频率f=2000Hz,幅值调制系数 展开定义了新的瞬时频率估计： a=1.2,频率调制系数B=0.1幅值衰减因子C= n=aran+∑,n STFT() 0.98,加入信噪比为0dB的Gauss白噪声).令太 STFTx(t,f) 阳轮旋转频率f()=20+10sin(πt),太阳轮故障特 (12) 征频率为f()=10/30(0),信号的采样频率为6000Hz, 其中，STFT(,f表示第k次的STFT.(，么f的窗函 时间长度为3s 数为k-g,#M么，f可由k=2,…,N(N表示公式 仿真信号的分析结果如图1所示.图1(a)和 Amplitude 10 (③ 1.0 2200 (b) (c) 0.8 2100 0.6 0 2000 0 02 1900 1800 1800 1900200021002200 0.51.0152.02.5 Time/s Frequency/Hz Time/s Amplitude Amplitude Amplitude 2200 2200 2200 ka) (e) (① f((t) 2100 2100 2100 2000 2000 2000 1900 1900 1900 1800 1800 1800 0.51.01.52.02.5 0.51.01.52.02.5 0.51.01.52.02.5 Time/s Time/s Time/s 图1仿真信号.(a)波形：(b)Fourier颜谱：(c)STFT时频分布：(d)Wigner-Ville分布：(e)FSST:(f)FSST4 Fig.I Simulation signal:(a)waveform;(b)Fourier spectrum;(c)time-frequency representation(TFR)by STFT;(d)Wigner-Ville distribution,(e)time. frequency representation by FSST;(f)time-frequency representation by FSST4量溢出现象未得到有效解决，依然存在时频模糊 问题. 为了克服这个不足，基于更精确的瞬时频率 估计的二阶同步压缩变换（FSST2）被提出[25] . FSST2 首先定义一个二阶局部调制系数： eqt,x (t, f) = ∂tωex (t, f) ∂t t˜ x (t, f) （8） t˜ x (t, f) = t− ∂f STFTx (t, f) 2πjSTFTx (t, f) , ωex (t, f) = ∂tSTFTx (t, f) 2πjSTFTx (t, f) （9） 该调制系数为 FSST 瞬时频率估计（6）对时间 t 的 一阶导数. 则二阶瞬时频率估计可表达为： ωe [2] f,x (t, f) = ωex (t, f)+eqt,x (t, f) ( t−t˜ x (t, f) ) （10） 因而，信号x (t) 的二阶同步压缩变换如下： T2, f (t,ω) = 1 g(0) w R STFTx (t, f)δ ( ω−bω [2] t,x (t, f) ) d f （11） bω [2] t,x (t, f) ωe [2] f,x 其中， 为 (t, f) 的实部. FSST2 被证明能够提高具有高斯幅值调制信 号的时频分布的效果. Pham 和 Meignen[24] 针对其 他更为复杂的快速变化频率信号，进一步提出了 具有更为通用形式的高阶同步压缩变换方法 （FSSTN）. FSSTN 基于信号的幅值与相位的泰勒 展开定义了新的瞬时频率估计： ωe [N] f,x (t, f) = ωex (t, f)+ ∑N k=2 eq [k,N] t,x (t, f)  − STFTt k−1 x (t, f) STFTx (t, f)   （12） STFTt k−1 x (t, f) k STFTx (t, f) t k−1g(t) eq [k,N] t,x (t, f) k = 2,··· ,N N 其中， 表示第 次的 的窗函 数为 ， 可由 （ 表示公式 12 中的阶数）递归求得. 类似于 FSST2，FSSTN 的表达式为： TN, f (t,ω) = 1 g(0) w R STFTx (t, f)δ ( ω−bω [N] t,x (t, f) ) d f （13） 利用 FSSTN 方法，可以获得更加精确的瞬时 频率估计，从而有效抑制时频模糊现象，使时频分 布的可读性进一步提高. 根据实际应用需求，本文 采用四阶同步压缩变换（FSST4），即取 N=4. 3    仿真信号分析 在本节中，通过对时变转速工况下行星齿轮 箱声音信号进行仿真分析，验证前文总结的时变 故障特征规律形式，并验证 FSST4 方法提取共振 频带内故障特征的有效性. 以太阳轮故障为例，由 式（3）可得声音信号模型如下： s(t)=C { 1−cos[ 2π r f (r) s (t)dt ]} {1+acos[ 2π r fs (t)dt+ϕ ]} cos{ 2π r fndt+ Bsin[ 2π r fs (t)dt+θ ]} +ξ (t) （14） fn f (r) s (t) fs (t) ϕ = θ = 0 fn = 2000 a = 1.2 B = 0.1 C = 0.98 ξ (t) f (r) s (t)= 20+10 sin(πt) fs (t)= 10/3 f (r) s (t) 式中， 为行星齿轮箱共振频率， 为太阳轮旋 转频率， 为太阳轮故障特征频率. 取初始相位 ，共振频率 Hz，幅值调制系数 ，频率调制系数 ，幅值衰减因子 ，加入信噪比为 0 dB 的 Gauss 白噪声 . 令太 阳轮旋转频率 ，太阳轮故障特 征频率为 ，信号的采样频率为6000Hz， 时间长度为 3 s. 仿真信号的分析结果如图 1 所示. 图 1（a）和 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1800 1900 2000 2100 2200 Amplitude/Pa Frequency/Hz (b) 10 5 0 −5 −10 0 1 2 3 Amplitude/Pa Time/s (a) 2200 2100 2000 1900 1800 0.5 1.5 1.0 2.0 2.5 Frequency/Hz Time/s (c) Amplitude 2200 2100 2000 1900 1800 0.5 1.5 1.0 2.0 2.5 Frequency/Hz Time/s (f) fn±fs (r)(t) fn±fs (t) f n±f s (r)(t)±fs (t) fn Amplitude 2200 2100 2000 1900 1800 0.5 1.5 1.0 2.0 2.5 Time/s Frequency/Hz (e) Amplitude 2200 2100 2000 1900 1800 0.5 1.5 1.0 2.0 2.5 Frequency/Hz Time/s (d) Amplitude 图 1 仿真信号. （a）波形；（b）Fourier 频谱；（c）STFT 时频分布；（d）Wigner−Ville 分布；（e）FSST；（f）FSST4 Fig.1 Simulation signal: (a) waveform; (b) Fourier spectrum; (c) time–frequency representation(TFR) by STFT; (d) Wigner–Ville distribution; (e) time￾frequency representation by FSST; (f) time-frequency representation by FSST4 张郑武等： 基于高阶同步压缩变换的行星齿轮箱声音信号共振频带特征提取 · 1051 ·